Um número de três algarismos é chamado equilibrado se algum de seus algarismos é a média aritmética dos outros dois. Por exemplo, 417 é equilibrado, pois
. Quantos números equilibrados de três algarismos existem?
Passo 1
Resumo do enunciado: Queremos contar quantos números de três algarismos (de 100 a 999) são “equilibrados”, ou seja, em que algum dos algarismos é a média aritmética dos outros dois.
Conteúdo da matéria: progressão aritmética e média aritmética.
O que vamos precisar:
Conteúdo da matéria: progressão aritmética e média aritmética.
O que vamos precisar:
- Entender que “um dos dígitos é média dos outros dois” é a mesma coisa que “os três dígitos formam uma progressão aritmética (PA)”.
- Contar todas as PAs possíveis com dígitos entre 0 e 9, garantindo que o primeiro dígito (centena) não seja zero.
- Levar em conta as permutações de cada conjunto de dígitos, excluindo aquelas com algarismo 0 na centena.
Passo 2
Teoria básica:
Uma sequência é uma progressão aritmética se a diferença entre termos consecutivos for constante, isto é,
Uma sequência
Daí se obtém imediatamente
ou seja,
é a média aritmética de
e
. Logo, dizer que “algum dígito é média dos outros dois” equivale a “os três dígitos, em qualquer ordem, formam um conjunto
”.
Passo 3
Vamos listar todos esses conjuntos
dentro do intervalo
.
-
varia de 0 até 9. - Para cada
, o passo vai de 0 até , garantindo .
Número de conjuntos:
Somando para cada
:
x=0 → 5 valores de d (0,1,2,3,4)
x=1 → 5 valores de d (0,1,2,3,4)
x=2 → 4 valores de d (0,1,2,3)
x=3 → 4 valores de d (0,1,2,3)
x=4 → 3 valores de d (0,1,2)
x=5 → 3 valores de d (0,1,2)
x=6 → 2 valores de d (0,1)
x=7 → 2 valores de d (0,1)
x=8 → 1 valor de d (0)
x=9 → 1 valor de d (0)
Total de conjuntos = 5+5+4+4+3+3+2+2+1+1 = 30.
Somando
x=0 → 5 valores de d (0,1,2,3,4)
x=1 → 5 valores de d (0,1,2,3,4)
x=2 → 4 valores de d (0,1,2,3)
x=3 → 4 valores de d (0,1,2,3)
x=4 → 3 valores de d (0,1,2)
x=5 → 3 valores de d (0,1,2)
x=6 → 2 valores de d (0,1)
x=7 → 2 valores de d (0,1)
x=8 → 1 valor de d (0)
x=9 → 1 valor de d (0)
Total de conjuntos = 5+5+4+4+3+3+2+2+1+1 = 30.
Destes 30 conjuntos:
- Quando
temos 10 conjuntos “constantes” ( para ). - Quando
temos 20 conjuntos “não constantes”.
Passo 4
Contagem dos números equilibrados gerados pelos conjuntos constantes
:
Cada conjunto constante gera exatamente 1 número (por exemplo só dá 555).
Mas o caso (000) não é número de três algarismos.
Logo, valem : são 9 números.
Cada conjunto constante gera exatamente 1 número (por exemplo
Mas o caso
Logo, valem
Passo 5
Contagem dos números das PAs não constantes (
):
- Cada conjunto de três termos distintos tem
permutações. - Se o conjunto não contiver o dígito 0, todas as 6 permutações geram números válidos (centena ≠ 0).
- Se o conjunto contiver 0, então as permutações com 0 na centena são inválidas. Há
dessas permutações (pois os outros dois dígitos trocam de lugar). Portanto, geram números cada.
Entre os 20 conjuntos com
:
- 4 conjuntos têm
(são ). Cada um dá 4 números: . - Os outros 16 conjuntos não têm zero. Cada um dá 6 números:
.
Total desses casos =
.
Passo 6
Somando tudo:
- Conjuntos constantes: 9
- Conjuntos não constantes: 112
Total =.
Resposta
121 números equilibrados de três algarismos.