Um número de três algarismos é chamado equilibrado se algum de seus algarismos é a média aritmética dos outros dois. Por exemplo, 417 é equilibrado, pois 4=1+72. Quantos números equilibrados de três algarismos existem?

Passo 1

Resumo do enunciado: Queremos contar quantos números de três algarismos (de 100 a 999) são “equilibrados”, ou seja, em que algum dos algarismos é a média aritmética dos outros dois.
Conteúdo da matéria: progressão aritmética e média aritmética.
O que vamos precisar:
  • Entender que “um dos dígitos é média dos outros dois” é a mesma coisa que “os três dígitos formam uma progressão aritmética (PA)”.
  • Contar todas as PAs possíveis com dígitos entre 0 e 9, garantindo que o primeiro dígito (centena) não seja zero.
  • Levar em conta as permutações de cada conjunto de dígitos, excluindo aquelas com algarismo 0 na centena.

Passo 2

Teoria básica:
Uma sequência y - x ;=; z - y ;=; d, é uma progressão aritmética se a diferença entre termos consecutivos for constante, isto é,
y ;=;x+z2,
Daí se obtém imediatamente
ou seja, é a média aritmética de e . Logo, dizer que “algum dígito é média dos outros dois” equivale a “os três dígitos, em qualquer ordem, formam um conjunto ”.

Passo 3

Vamos listar todos esses conjuntos dentro do intervalo .
  • varia de 0 até 9.
  • Para cada , o passo vai de 0 até , garantindo .
Número de conjuntos:
Somando para cada :
x=0 → 5 valores de d (0,1,2,3,4)
x=1 → 5 valores de d (0,1,2,3,4)
x=2 → 4 valores de d (0,1,2,3)
x=3 → 4 valores de d (0,1,2,3)
x=4 → 3 valores de d (0,1,2)
x=5 → 3 valores de d (0,1,2)
x=6 → 2 valores de d (0,1)
x=7 → 2 valores de d (0,1)
x=8 → 1 valor de d (0)
x=9 → 1 valor de d (0)
Total de conjuntos = 5+5+4+4+3+3+2+2+1+1 = 30.
Destes 30 conjuntos:
  • Quando temos 10 conjuntos “constantes” ( para ).
  • Quando temos 20 conjuntos “não constantes”.

Passo 4

Contagem dos números equilibrados gerados pelos conjuntos constantes :
Cada conjunto constante gera exatamente 1 número (por exemplo só dá 555).
Mas o caso (000) não é número de três algarismos.
Logo, valem : são 9 números.

Passo 5

Contagem dos números das PAs não constantes ( ):
  • Cada conjunto de três termos distintos tem permutações.
  • Se o conjunto não contiver o dígito 0, todas as 6 permutações geram números válidos (centena ≠ 0).
  • Se o conjunto contiver 0, então as permutações com 0 na centena são inválidas. Há dessas permutações (pois os outros dois dígitos trocam de lugar). Portanto, geram números cada.
Entre os 20 conjuntos com :
  • 4 conjuntos têm (são ). Cada um dá 4 números: .
  • Os outros 16 conjuntos não têm zero. Cada um dá 6 números: .
Total desses casos = .

Passo 6

Somando tudo:
  • Conjuntos constantes: 9
  • Conjuntos não constantes: 112
    Total = .

Resposta

121 números equilibrados de três algarismos.

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