Em um teste de múltipla escolha, a probabilidade do aluno saber a resposta certa é p. Havendo m escolhas, se ele sabe a resposta, ele responde corretamente com probabilidade 1; se não sabe, ele responde corretamente com probabilidade 1 / m. Qual a probabilidade que ele sabia a resposta, dado que a pergunta foi respondida corretamente? Calcule o limite desta probabilidade se (i) m infty, com p fixo e (ii) p 0, com m fixo.

Passo 1

O enunciado nos dá um teste de múltipla escolha com m alternativas, em que a probabilidade do aluno saber a resposta é p. Se ele sabe, acerta com probabilidade 1; se não sabe, chuta e acerta com probabilidade 1/m. Queremos usar o Teorema de Bayes para achar
P(sabermid correta)

Passo 2

Pelo Teorema de Bayes,
P(sabermid correta) =P(corretamid saber),P(saber)P(correta)
Sabemos que P(corretamid saber)=1 e P(saber)=p. Já
P(correta) =P(corretamid saber),P(saber) +P(corretamid não saber),P(não saber) =pcdot1+(1-p)cdot1m ãã
Logo,
P(sabermid correta) =p,p + 1-pm,

Passo 3

Agora calculamos o limite quando mtoinfty com p fixo. Note que
limmtoinfty1-pm=0,
portanto
limmtoinftyP(sabermid correta) =limmtoinftypp+(1-p)/m =pp+0=1

Passo 4

Finalmente, o limite quando pto0 com m fixo. Para pto0,
p+(1-p)/m;longrightarrow;0+1m=1m,
então
limpto0P(sabermid correta) =limpto0pp+(1-p)/m =01/m=0

Resposta

P(sabermid correta) =pp + 1-pm
(i) limmtoinftyP(sabermid correta)=1
(ii) limpto0P(sabermid correta)=0

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