Em um teste de múltipla escolha, a probabilidade do aluno saber a resposta certa é p. Havendo m escolhas, se ele sabe a resposta, ele responde corretamente com probabilidade 1; se não sabe, ele responde corretamente com probabilidade
. Qual a probabilidade que ele sabia a resposta, dado que a pergunta foi respondida corretamente? Calcule o limite desta probabilidade se (i)
, com p fixo e (ii)
, com m fixo.
Passo 1
O enunciado nos dá um teste de múltipla escolha com
alternativas, em que a probabilidade do aluno saber a resposta é
. Se ele sabe, acerta com probabilidade 1; se não sabe, chuta e acerta com probabilidade
. Queremos usar o Teorema de Bayes para achar
Passo 2
Pelo Teorema de Bayes,
Sabemos que
e
. Já
Logo,
Passo 3
Agora calculamos o limite quando
com
fixo. Note que
portanto
Passo 4
Finalmente, o limite quando
com
fixo. Para
,
então
Resposta
(i)
(ii)
(ii)