Para os números complexos e , comprove que:
(a)

Passo 1

O enunciado dá os números complexos z1=-1 e z2=5i e pede para mostrar que a propriedade de soma de argumentos falha se usarmos o argumento principal (Arg). Vamos precisar lembrar a definição de e como ele é restringido ao intervalo Arg.

Passo 2

Definição de argumento principal: para um número complexo z=re^itheta, o é Arg(z) ajustado para ficar no intervalo theta. Mesmo que se tenha módulo (-pi,pi], nem sempre essa soma cai no intervalo principal sem ajuste.

Passo 3

Cálculo de : como Arg(z1) está no semi-eixo real negativo,

Cálculo de : como z1=-1 está no semi-eixo imaginário positivo,
Soma dos argumentos sem ajuste:

Observação: Arg(z1)=Arg(-1)=pi não pertence ao intervalo principal Arg(z2), pois é maior que z2=5i. O ajuste para trazê-lo ao intervalo daria Arg(z2)=pi2, mas isso já é a redefinição para o principal.

Passo 4

Cálculo de :
Arg(z1z2)
Como z1z2 = -1cdot 5i = -5i está no semi-eixo imaginário negativo,

Passo 5

Comparando, vemos que

como argumentos principais, elas não coincidem sem ajustarmos modulo Arg(z1z2)=-pi2.

Resposta

.

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