Sejam forall n >= 0,0 <= un <= 1 e 0 <= vn <= 1 e lim n +infty un vn=1 duas sequências. Suponhamos que :
lim n +infty un=1
e
lim n +infty vn=1
Provar que e .

Passo 1

Resumo do enunciado: temos duas sequências $ (u_n)$ e (un) em (vn) tais que [0,1]. Queremos mostrar que limntoinftyun vn = 1 e limntoinftyun=1.

Passo 2

Prova de que unto1: suponha, por absurdo, que un não convirja para 1. Então existe varepsilon>0 e uma sub-sequência (unk) tal que unk<=1-varepsilon para todo k. Como 0<= vnk<=1, segue que unkvnk<=1-varepsilon para todo k. Isso impede que un vn tenda a 1, contradizendo a hipótese lim un vn=1. Logo, unto1.

Passo 3

Prova de que vnto1: o mesmo argumento vale trocando un por vn. Se vn não fosse convergente a 1, encontraríamos varepsilon>0 e uma sub-sequência (vmk) com vmk<=1-varepsilon, levando a umkvmk<=1-varepsilon<1, o que contradiz lim un vn=1. Portanto, vnto1.

Resposta

limntoinftyun=1 e limntoinftyvn=1.

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