Sejam
e
duas sequências. Suponhamos que :
e
Provar que
e
.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos duas sequências $ (u_n)$ e
em
tais que
. Queremos mostrar que
e
.
Passo 2
Prova de que
: suponha, por absurdo, que
não convirja para 1. Então existe
e uma sub-sequência
tal que
para todo
. Como
, segue que
para todo
. Isso impede que
tenda a 1, contradizendo a hipótese
. Logo,
.
Passo 3
Prova de que
: o mesmo argumento vale trocando
por
. Se
não fosse convergente a 1, encontraríamos
e uma sub-sequência
com
, levando a
, o que contradiz
. Portanto,
.