Para os números complexos e , comprove que:
(b) .

Passo 1

Temos os números complexos z1=-1 e z2=5i, e queremos verificar se a propriedade de argumentos na forma Arg(a/b)=Arg(a)-Arg(b) vale aqui quando trocamos a por -z2 e b por z1.

Passo 2

Vamos calcular primeiro os argumentos principais de z1 e z2. Por definição, o argumento principal Arg(w) varia em (-pi,pi]. Como z1=-1 está no eixo real negativo,
Arg(z1)=pi

Passo 3

Para z2=5i, que está no eixo imaginário positivo,
Arg(z2)=pi2

Passo 4

Agora calculamos Arg(-z2). Note que -z2=-5i fica no eixo imaginário negativo, portanto
Arg(-z2)=-pi2

Passo 5

Em seguida, determinamos o quociente
-z2z1=-5i-1=5i,
cujo argumento principal é mesmo o de 5i, ou seja
Argl(-z2z1r)=pi2

Passo 6

Por fim, calculamos o lado direito da igualdade que queremos testar:
Arg(-z2)-Arg(z1)=-pi2-pi=-3pi2

Passo 7

Comparando os dois resultados vemos que
Argl(-tfracz2z1r)=tfracpi2eArg(-z2)-Arg(z1)=-tfrac3pi2,
que são claramente diferentes no ramo principal de (-pi,pi].

Resposta

Arg(-z2/z1)=tfracpi2 neq -tfrac3pi2=Arg(-z2)-Arg(z1).

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