Seja epsilon uma sequência. Usaremos nesse exercício a definição de limite de uma sequência (com lim n +infty un=lim n +infty un+1 ).
a. Provar que se +infty converge então converge e que .
b. Suponhamos que é estritamente positiva e converge a 0 . Provar que a sequência diverge a .

Passo 1

Nesse exercício vamos usar a definição “+ε” de limite de sequência. Precisamos provar em (a) que se un converge a um limite L, a sequência deslocada un+1 também converge e tem o mesmo limite. Em (b) vamos mostrar que, sendo un>0 e unto0, a sequência 1/un diverge para +infty.

Passo 2

Como limntoinftyun=L, para todo epsilon>0 existe N tal que, para todo n>= N, vale
|un-L|
Para a sequência un+1, basta escolher
M=N-1,
pois se n>= M então n+1>= N e
|un+1-L|
Isso mostra que un+1 converge e, pelo mesmo L, temos
limntoinftyun+1=L=limntoinftyun

Passo 3

Se un>0 e limntoinftyun=0, tomemos qualquer R>0 e defina
epsilon=1/R
Pela convergência de un a zero, existe N tal que para n>= N
0
Invertendo, obtemos
1/un>R
para todo n>= N. Como R>0 era arbitrário, isso significa que 1/un cresce além de todo limite finito, ou seja,
limntoinfty1/un=+infty

Resposta

a) A sequência (un+1) converge e
limntoinftyun+1=limntoinftyun
b) A sequência (1/un) diverge a +infty, isto é,
limntoinfty1/un=+infty

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