Seja
uma sequência. Usaremos nesse exercício a definição de limite de uma sequência (com
).
a. Provar que se
converge então
converge e que
.
b. Suponhamos que
é estritamente positiva e converge a 0 . Provar que a sequência
diverge a
.
a. Provar que se
b. Suponhamos que
Passo 1
Nesse exercício vamos usar a definição “+ε” de limite de sequência. Precisamos provar em (a) que se
converge a um limite
, a sequência deslocada
também converge e tem o mesmo limite. Em (b) vamos mostrar que, sendo
e
, a sequência
diverge para
.
Passo 2
Como
, para todo
existe
tal que, para todo
, vale
Para a sequência
, basta escolher
pois se
então
e
Isso mostra que
converge e, pelo mesmo
, temos
Passo 3
Se
e
, tomemos qualquer
e defina
Pela convergência de
a zero, existe
tal que para
Invertendo, obtemos
para todo
. Como
era arbitrário, isso significa que
cresce além de todo limite finito, ou seja,
Resposta
a) A sequência
converge e
b) A sequência diverge a
, isto é,
b) A sequência