Questão extra
Estudar a continuidade da função f, sem usar o Teorema de L’Hopital.
f: R & R x & -x^3+x^2+x+27(x^2-10 x+16) & se x<2 16 & se x=2 raizx+7-3x-2 & se x>2

Passo 1

O enunciado define a função f por partes em três casos (x<2, x=2 e x>2) e pede para analisar a continuidade sem usar o Teorema de L’Hôpital. Vamos aplicar conceitos de continuidade de quocientes de polinômios, raiz quadrada e limites laterais.

Passo 2

Para x<2 o denominador 7(x²−10x+16) nunca zera (as raízes são x=2 e x=8, mas x<2 exclui esses pontos). Como numerador e denominador são polinômios contínuos e o denom.≠0 em (−∞,2), f é contínua em todo esse intervalo. De modo análogo, para x>2 a expressão (√(x+7)−3)/(x−2) é quociente de funções contínuas (√(x+7) contínua para x>−7, x−2≠0 em (2,∞)), logo f é contínua em (2,∞).

Passo 3

Para verificar a continuidade em x=2, precisamos calcular os limites laterais e comparar com f(2)=1/6.

Passo 4

Limite pela esquerda:
f(x)=-x^3+x^2+x+27(x^2-10x+16) =-(x-2)(x^2+x+1)7(x-2)(x-8) =-(x^2+x+1)7(x-8)
Logo
limxto2^-f(x)=-(2^2+2+1)7(2-8)=-77(-6)=16

Passo 5

Limite pela direita: racionalizamos com o conjugado:
raizx+7-3x-2cdotraizx+7+3raizx+7+3 =x+7-9(x-2)(raizx+7+3) =x-2(x-2)(raizx+7+3) =1raizx+7+3
Então
limxto2^+f(x)=1raiz2+7+3=16

Passo 6

Como os limites laterais são iguais entre si e valem 1/6, que coincide com f(2), f é contínua em x=2.

Resposta

A função f é contínua em todo R.

Exercícios relacionados