Para quais números a a eliminação falha (1) permanentemente e (2) temporariamente (ou seja, pode ser consertada através de uma troca de linhas)?
& a x+3 y=-3 & 4 x+6 y=6
Resolva para x e y após corrigir a falha temporária trocando as linhas.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com parâmetro
Queremos identificar para quais valores de e .

Passo 2

Começamos tentando usar a como pivô na primeira equação.
  • Se a=0, o pivô da primeira linha é zero. Contudo, a segunda linha tem coeficiente 4neq0 na coluna de x, então podemos trocar a primeira e a segunda linha e seguir a eliminação normalmente. Logo, quando a=0 a falha é temporária.
  • Se aneq0, o pivô inicial é não nulo e podemos eliminar x na segunda equação multiplicando a primeira linha por 4/a e subtraindo da segunda. Após essa operação, o coeficiente de y na segunda linha fica
12a-6 = 12-6aa
Esse coeficiente anula-se exatamente quando
12-6a = 0 ;Longrightarrow; a = 2
Nesse caso, a segunda linha viria a ser
0cdot y = algum número não nulo, úã
indicando contradição e imposibilidade de prosseguir, sem possibilidade de troca de linhas (não há outra linha para trocar). Portanto, para a=2 a falha é permanente.

Passo 3

Conclusão sobre os valores de a:
(1) Falha permanente: a=2.
(2) Falha temporária corrigível por troca de linhas: a=0.

Passo 4

Agora resolvemos o caso
Da segunda linha obtemos
Substituindo em (4x+6y=6] dá

Resposta

(1) Falha permanente para a=2.
(2) Falha temporária para a=0.
Para a=0, após trocar linhas, a solução é
x = 3, y = -1

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