Para quais três números k a eliminação falha? Qual é corrigida por uma troca de linhas? Em cada caso, o número de soluções é 0,1 ou infinito?
& k x+3 y=6 & 3 x+k y=-6

Passo 1

O enunciado dá o sistema
k x + 3y = 6, 3 x + k y = -6,
e pede para determinar os valores de k em que a eliminação de Gauss falha, qual deles é corrigido por troca de linhas e quantas soluções cada caso tem (0, 1 ou infinito). Vamos usar a técnica de pivôs sucessivos.

Passo 2

Na eliminação de Gauss o primeiro pivô é o coeficiente de x na primeira equação, ou seja ,k.
  • Se ,k=0 esse pivô é zero e a eliminação falha já na primeira etapa.
  • Se ,kneq0 podemos eliminar x da segunda equação multiplicando a primeira por 3/k e subtraindo. O coeficiente resultante de y na segunda linha fica
k - 3cdot3k = k^2 - 9k
Esse segundo pivô falha quando k^2 - 9 = 0.

Passo 3

As falhas ocorrem portanto quando
k = 0 ou k^2 - 9 = 0;Longrightarrow;k = pm 3
Ou seja, os três valores são k=0, k=3 e k=-3.

Passo 4

Para k=0 podemos trocar as duas linhas do sistema de modo que o novo primeiro pivô seja 3neq0, corrigindo a falha. Para k=pm3 a matriz de coeficientes fica singular ( det=k^2-9=0), de modo que nenhuma troca de linhas torna o sistema não singular.

Passo 5

Analisando o número de soluções em cada caso:
  • Se kneqpm3 a matriz tem determinante De<a=k^2-9neq0 e o sistema é compatível determinado (1 solução). Em particular, para k=0 (já corrigido por troca de linhas) obtemos y=2 e x=-2.
  • Se k=3 as equações tornam-se
3x+3y=6;Longrightarrow;x+y=2, 3x+3y=-6;Longrightarrow;x+y=-2,
o que é contraditório, logo 0 soluções.
  • Se k=-3 as equações passam a
-3x+3y=6;Longrightarrow;-x+y=2, 3x-3y=-6;Longrightarrow;x-y=-2,
que são a mesma reta, logo infinitas soluções.

Resposta

Os valores de k que fazem a eliminação falhar são
k = 0,;3,;-3
Desses, apenas k=0 é corrigido por uma troca de linhas.
O número de soluções é
1 solução,&k=0, 0 soluções,&k=3, infty soluções,&k=-3 çãçõçõ

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