Para quais três números a eliminação falha? Qual é corrigida por uma troca de linhas? Em cada caso, o número de soluções é 0,1 ou infinito?
Passo 1
O enunciado dá o sistema
e pede para determinar os valores de k em que a eliminação de Gauss falha, qual deles é corrigido por troca de linhas e quantas soluções cada caso tem (0, 1 ou infinito). Vamos usar a técnica de pivôs sucessivos.
Passo 2
Na eliminação de Gauss o primeiro pivô é o coeficiente de x na primeira equação, ou seja ,k.
Se ,k=0 esse pivô é zero e a eliminação falha já na primeira etapa.
Se ,kneq0 podemos eliminar x da segunda equação multiplicando a primeira por 3/k e subtraindo. O coeficiente resultante de y na segunda linha fica
k - 3cdot3k = k^2 - 9k
Esse segundo pivô falha quando k^2 - 9 = 0.
Passo 3
As falhas ocorrem portanto quando
k = 0 ou k^2 - 9 = 0;Longrightarrow;k = pm 3
Ou seja, os três valores são k=0, k=3 e k=-3.
Passo 4
Para k=0 podemos trocar as duas linhas do sistema de modo que o novo primeiro pivô seja 3neq0, corrigindo a falha. Para k=pm3 a matriz de coeficientes fica singular (det=k^2-9=0), de modo que nenhuma troca de linhas torna o sistema não singular.
Passo 5
Analisando o número de soluções em cada caso:
Se kneqpm3 a matriz tem determinante De<a=k^2-9neq0 e o sistema é compatível determinado (1 solução). Em particular, para k=0 (já corrigido por troca de linhas) obtemos y=2 e x=-2.