Sejam e matrices quadradas da mesma ordem e invertíveis. Resolva as equações. Dando em função de e .
(a)
(b)
(c)
(d) , calcule , sendo .
Passo 1
O enunciado pede para resolver quatro equações matriciais para X, sendo A,B,C,X matrizes quadradas invertíveis da mesma ordem. Vamos usar as propriedades de matrizes invertíveis e operações de inversão, fatoração e transposição.
Passo 2
(a) Temos
A,B,X = C
Como A e B são invertíveis, podemos multiplicar à esquerda por (AB)^-1, obtendo
X = (AB)^-1,C
E usando (AB)^-1=B^-1A^-1, concluímos
boxedX = B^-1,A^-1,C
Passo 3
(b) A equação é
A,X^2,C = A,X,B,C
Multiplicando à esquerda por A^-1 e à direita por C^-1, vem
X^2 = X,B
Isso é
X^2 - X,B = 0 Long<=ftrightarrow X,(X - B) = 0
Como X é invertível, só resta
X - B = 0 Longrightarrow boxedX = B
Passo 4
(c) A equação é
A,X^-1 = C,A
Multiplicando à esquerda por A^-1 dá
X^-1 = A^-1,C,A
Invertendo ambos os lados,
X = l(A^-1C,Ar)^-1 = A^-1,C^-1,A
Logo
boxedX = A^-1,C^-1,A
Passo 5
(d) A equação é
A,X^t,B = A,B - I
Multiplicando à esquerda por A^-1 e à direita por B^-1, isolamos