Sejam A, B, C e X matrices quadradas da mesma ordem e invertíveis. Resolva as equações. Dando X em função de A, B e C.
(a) A B X=C
(b) A X^2 C=A X B C
(c) A X^-1=C A
(d) A X^t B=A B-I, calcule X, sendo A=[ll2 & 5 2 & 4], B=[ll-1 & 1 -1 & 2].

Passo 1

O enunciado pede para resolver quatro equações matriciais para X, sendo A,B,C,X matrizes quadradas invertíveis da mesma ordem. Vamos usar as propriedades de matrizes invertíveis e operações de inversão, fatoração e transposição.

Passo 2

(a) Temos
A,B,X = C
Como A e B são invertíveis, podemos multiplicar à esquerda por (AB)^-1, obtendo
X = (AB)^-1,C
E usando (AB)^-1=B^-1A^-1, concluímos
boxedX = B^-1,A^-1,C

Passo 3

(b) A equação é
A,X^2,C = A,X,B,C
Multiplicando à esquerda por A^-1 e à direita por C^-1, vem
X^2 = X,B
Isso é
X^2 - X,B = 0 Long<=ftrightarrow X,(X - B) = 0
Como X é invertível, só resta
X - B = 0 Longrightarrow boxedX = B

Passo 4

(c) A equação é
A,X^-1 = C,A
Multiplicando à esquerda por A^-1
X^-1 = A^-1,C,A
Invertendo ambos os lados,
X = l(A^-1C,Ar)^-1 = A^-1,C^-1,A
Logo
boxedX = A^-1,C^-1,A

Passo 5

(d) A equação é
A,X^t,B = A,B - I
Multiplicando à esquerda por A^-1 e à direita por B^-1, isolamos
X^t = A^-1,(A,B - I),B^-1,
e então
X = l(X^tr)^t

Passo 6

Agora calculamos numericamente, com
A=2&52&4, B=-1&1-1&2
Primeiro
A,B =2&52&4 -1&1-1&2 =-7&12-6&10,
A,B - I =-8&12-6&9
Depois as inversas:
det A = -2,; A^-1 = 1-24&-5-2&2 =-2&tfrac521&-1,
det B = -1,; B^-1 = 1-12&-11&-1 =-2&1-1&1
Logo
X^t = A^-1(AB - I)B^-1 =-2&tfrac521&-1 -8&12-6&9 -2&1-1&1 =-tfrac12&-tfrac121&1,
X = (X^t)^t =-tfrac12&1-tfrac12&1
Portanto,
boxedX = -tfrac12&1-tfrac12&1

Resposta

(a) X = B^-1A^-1C
(b) X = B
(c) X = A^-1C^-1A
(d) X = -tfrac12&1-tfrac12&1

Exercícios relacionados