Entre quais números inteiros consecutivos se encontram os seguintes números reais:
raiz[3]18-raiz[4]2

Passo 1

O enunciado pede para determinar entre quais inteiros consecutivos está o número
raiz[3]18-raiz[4]2
Aqui vamos usar a ideia de estimar raízes não inteiras por meio de potências de inteiros próximos e, em seguida, subtrair esses limites para achar um intervalo que contenha o valor procurado.

Passo 2

Estimamos raiz[3]18 usando a função xmapsto x^3, que é crescente para x>0. Como
2^3=8<18<27=3^3,
sabemos que
2<raiz[3]18<3
Para refinar, testamos valores mais próximos:
2.62^3=17.97<18<18.17=2.63^3,
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2.62<raiz[3]18<2.63

Passo 3

Estimamos raiz[4]2 usando a função xmapsto x^4, também crescente para x>0. Como
1.18^2=1.3924implies1.18^4=1.3924^2approx1.9398<2
e
1.19^2=1.4161implies1.19^4=1.4161^2approx2.0055>2,
concluímos
1.18<raiz[4]2<1.19

Passo 4

Agora subtraímos os intervalos extremos para conter raiz[3]18-raiz[4]2. O menor valor possível é
2.62-1.19=1.43,
e o maior é
2.63-1.18=1.45
Portanto
1.43<raiz[3]18-raiz[4]2<1.45,
o que mostra que esse número está entre os inteiros 1 e 2.

Resposta

Entre 1 e 2.

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