Questão 2. Calcule e indique (justificando) em cada caso o método ou resultado utilizado:
c) ( 1,0 ponto) \int \cos ^{2} x \sin ^{5} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \cos^{2}x\,\sin^{5}x\,dx
Este tipo de integral envolve potências de seno e cosseno. Como a potência de \sin x é ímpar, vamos usar a identidade trigonométrica
\sin^{2}x + \cos^{2}x = 1
para reescrever parte da integral e, em seguida, aplicar uma substituição simples.

Passo 2

Reescrevemos \sin^{5}x como \sin^{4}x\cdot\sin x e usamos \sin^{2}x=1-\cos^{2}x para transformar \sin^{4}x:
\sin^{5}x = \bigl(\sin^{2}x\bigr)^{2}\sin x = \bigl(1-\cos^{2}x\bigr)^{2}\sin x.
Assim a integral vira
\int \cos^{2}x\,\sin^{5}x\,dx = \int \cos^{2}x\,(1-\cos^{2}x)^{2}\,\sin x\,dx.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = \cos x, \quad du = -\sin x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \sin x\,dx = -\,du.
Substituindo na integral:
\int \cos^{2}x\,(1-\cos^{2}x)^{2}\,\sin x\,dx = -\int u^{2}\,(1-u^{2})^{2}\,du.

Passo 4

Expandimos o polinômio (1-u^{2})^{2}:
(1-u^{2})^{2} = 1 - 2u^{2} + u^{4},
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u^{2}\,(1-u^{2})^{2} = u^{2} - 2u^{4} + u^{6}.
A integral fica
- \int \bigl(u^{2} - 2u^{4} + u^{6}\bigr)\,du.

Passo 5

Integramos termo a termo:
- \int u^{2}\,du = -\frac{u^{3}}{3}, \quad - \int(-2u^{4})\,du = +2\,\frac{u^{5}}{5}, \quad - \int u^{6}\,du = -\frac{u^{7}}{7}.
Somando tudo e incluindo a constante de integração C, obtemos
-\frac{u^{3}}{3} + \frac{2u^{5}}{5} - \frac{u^{7}}{7} + C.

Passo 6

Voltando a variável original x com u=\cos x, a antiderivada final é
-\frac{\cos^{3}x}{3} + \frac{2\cos^{5}x}{5} - \frac{\cos^{7}x}{7} + C.

Resposta

\int \cos^{2}x\,\sin^{5}x\,dx = -\frac{\cos^{3}x}{3} + \frac{2\cos^{5}x}{5} - \frac{\cos^{7}x}{7} + C.
Método utilizado: reescrita usando \sin^{2}x=1-\cos^{2}x e substituição u=\cos x.

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