1. O5. Uma esfera não condutora de raio R, possui uma densidade volumétrica de carga dada por rho=b r^3, onde b é uma constante qualquer c r é a distância ao centro. Usando a lei de Gauss, determine o módulo do campo elétrico (a) no interior da esfera; (b) no exterior da esfera. (c) Responda aos itens (a) e (b) novamente, considerando agora que a esfera é condutora.

Passo 1

O enunciado pede o campo elétrico de uma esfera de raio R com densidade volumétrica de carga rho=b,r^3. O conteúdo aqui é a Lei de Gauss em simetria esférica, segundo a qual
oint Ecdot dA = Qrm intvarepsilon0,
Precisamos calcular a carga interna Qrm int(r) para um raio gaussiano r e daí obter E(r). Faremos isso separadamente para a esfera não condutora (itens a e b) e depois para a esfera condutora (item c).

Passo 2

(a) Interior da esfera não condutora ( r<R).
  1. Calcular a carga interna
Qrm int(r) = integral0^r rho(r'),4pi r'^2,dr' = 4pi b integral0^r r'^5,dr' = 4pi b ,r^66 = 2pi b3,r^6
  1. Aplicar a Lei de Gauss em superfície esférica de raio r:
E(r),4pi r^2 = Qrm int(r)varepsilon0 Longrightarrow E(r) = 14pivarepsilon0,Qrm int(r)r^2 = 14pivarepsilon0,tfrac2pi b3r^6r^2 = b,r^46,varepsilon0

Passo 3

(b) Exterior da esfera não condutora ( r>R).
A carga total da esfera é
Qrm tot = Qrm int(R) = 2pi b3,R^6
Pela Lei de Gauss fora da esfera:
E(r),4pi r^2 = Qrm totvarepsilon0 Longrightarrow E(r) = 14pivarepsilon0,Qrm totr^2 = b,R^66,varepsilon0,r^2

Passo 4

(c) Interior da esfera condutora ( r<R).
Num condutor em equilíbrio eletrostático, todo excesso de carga fica na superfície, de modo que no interior o campo é
E(r)=0

Passo 5

(c) Exterior da esfera condutora ( r>R).
Do lado de fora, a esfera se comporta como carga pontual Qrm tot=tfrac2pi b3R^6, logo
E(r) = 14pivarepsilon0,Qrm totr^2 = b,R^66,varepsilon0,r^2

Resposta

(a) Interior, não condutora:
E(r)=b,r^46,varepsilon0, r<R
(b) Exterior, não condutora:
E(r)=b,R^66,varepsilon0,r^2, r>R
(c) Condutora:
E(r)=0(r<R), E(r)=b,R^66,varepsilon0,r^2(r>R)

Exercícios relacionados