O objetivo desta questão é determinar os valores de a e b na função f(x)=a x^2+b x+15 x^2-x e analisar o comportamento dessa função.
Responda cada uma das seguintes afirmações.
O ponto em que f está decrescendo mais rápido é:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função racional f(x) = a x^2 + b x + 15 x^2 - x . O objetivo é descobrir os valores de a e b e analisar como essa função se comporta. Especificamente, a gente quer saber em qual ponto essa função está diminuindo mais rápido. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, principalmente derivadas, porque elas nos ajudam a entender como a função muda em relação a x .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f(x) . A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, quão rápido ela está aumentando ou diminuindo em cada ponto. Para derivar uma fração como essa, usamos a regra do quociente:
f'(x) = (a x^2 + b x + 1)' cdot (5 x^2 - x) - (a x^2 + b x + 1) cdot (5 x^2 - x)'(5 x^2 - x)^2
Agora, vamos calcular as derivadas das partes:
(a x^2 + b x + 1)' = 2a x + b
(5 x^2 - x)' = 10 x - 1
Substituindo de volta na fórmula:
f'(x) = (2a x + b)(5 x^2 - x) - (a x^2 + b x + 1)(10 x - 1)(5 x^2 - x)^2

Passo 3

Agora, nosso objetivo é encontrar onde a função está diminuindo mais rápido. Isso significa que queremos encontrar o ponto onde a derivada f'(x) é a menor possível, ou seja, onde f'(x) atinge seu valor mínimo.
Para encontrar o mínimo da derivada, precisamos derivar novamente, ou seja, encontrar f''(x) e resolver f''(x) = 0 . No entanto, isso pode ficar complicado devido à complexidade da função. Em vez disso, podemos analisar a expressão da primeira derivada e determinar onde ela atinge seu valor mínimo.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão da primeira derivada para facilitar a análise. Expandindo os termos:
(2a x + b)(5 x^2 - x) = 10a x^3 - 2a x^2 + 5b x^2 - b x
(a x^2 + b x + 1)(10 x - 1) = 10a x^3 + 10b x^2 + 10 x - a x^2 - b x - 1
Subtraindo as duas expressões:
(10a x^3 - 2a x^2 + 5b x^2 - b x) - (10a x^3 + 10b x^2 + 10 x - a x^2 - b x - 1) = -2a x^2 + 5b x^2 - 10b x^2 + a x^2 - 10 x + 1
= (-2a + 5b - 10b + a) x^2 - 10x + 1
= (-a - 5b) x^2 - 10x + 1
Então, a derivada fica:
f'(x) = -a - 5b ) x^2 - 10x + 1 (5 x^2 - x)^2

Passo 5

Para que a função f(x) tenha um ponto onde está diminuindo mais rápido, devemos garantir que a derivada f'(x) tenha um mínimo. Isso ocorre quando o numerador da derivada tem um ponto mínimo.
Considerando o numerador:
N(x) = (-a - 5b) x^2 - 10x + 1
Queremos que N(x) seja uma parábola que abre para cima (coeficiente de x^2 positivo), para que ela tenha um ponto mínimo. Portanto:
-a - 5b > 0 Rightarrow -a > 5b Rightarrow a < -5b

Resposta

O ponto onde a função f(x) está diminuindo mais rápido ocorre no mínimo da derivada, que depende dos valores de a e b . Para que exista esse ponto, os valores de a e b devem satisfazer a < -5b . Portanto, os valores de a e b devem ser tais que a seja menor que -5b.

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