O objetivo desta questão é determinar os valores de
e
na função
e analisar o comportamento dessa função.
Responda cada uma das seguintes afirmações.
O ponto em que
está decrescendo mais rápido é:
Responda cada uma das seguintes afirmações.
O ponto em que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função racional
. O objetivo é descobrir os valores de
e
e analisar como essa função se comporta. Especificamente, a gente quer saber em qual ponto essa função está diminuindo mais rápido. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, principalmente derivadas, porque elas nos ajudam a entender como a função muda em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, quão rápido ela está aumentando ou diminuindo em cada ponto. Para derivar uma fração como essa, usamos a regra do quociente:
Agora, vamos calcular as derivadas das partes:
Substituindo de volta na fórmula:
Passo 3
Agora, nosso objetivo é encontrar onde a função está diminuindo mais rápido. Isso significa que queremos encontrar o ponto onde a derivada
é a menor possível, ou seja, onde
atinge seu valor mínimo.
Para encontrar o mínimo da derivada, precisamos derivar novamente, ou seja, encontrar
e resolver
. No entanto, isso pode ficar complicado devido à complexidade da função. Em vez disso, podemos analisar a expressão da primeira derivada e determinar onde ela atinge seu valor mínimo.
Passo 4
Vamos simplificar a expressão da primeira derivada para facilitar a análise. Expandindo os termos:
Subtraindo as duas expressões:
Então, a derivada fica:
Passo 5
Para que a função
tenha um ponto onde está diminuindo mais rápido, devemos garantir que a derivada
tenha um mínimo. Isso ocorre quando o numerador da derivada tem um ponto mínimo.
Considerando o numerador:
Queremos que
seja uma parábola que abre para cima (coeficiente de
positivo), para que ela tenha um ponto mínimo. Portanto:
Resposta
O ponto onde a função
está diminuindo mais rápido ocorre no mínimo da derivada, que depende dos valores de
e
. Para que exista esse ponto, os valores de
e
devem satisfazer
. Portanto, os valores de
e
devem ser tais que
seja menor que
.