O objetivo desta questão é determinar os valores de
e
de modo que a função
definida como
intersecte o eixo
em 5 e tenha um ponto de inflexão em
, e depois analisar o comportamento dessa função.
Responda cada uma das seguintes afirmações.
Para que
tenha um ponto de inflexão em
, o valor de
deve ser:
-
○ 16
○ 4
O
-
Responda cada uma das seguintes afirmações.
Para que
○ 16
○ 4
O
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
e precisa encontrar os valores de
e
para que ela:
- Intercepte o eixo
em 5. - Tenha um ponto de inflexão em
.
Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo, especificamente derivadas para encontrar os pontos de inflexão, e entender como funciona o gráfico da função para o intercepto no eixo
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa interceptar o eixo
em 5. Isso quer dizer que quando
,
.
Vamos substituir
na função:
Então,
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o valor de
tal que a função tenha um ponto de inflexão em
.
Para isso, vamos lembrar que um ponto de inflexão ocorre onde a segunda derivada da função muda de concavidade, ou seja, onde
.
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada
:
Simplificando:
Agora, a segunda derivada
:
Usando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 4
Para que
seja um ponto de inflexão, precisamos que
.
Vamos substituir
na expressão da segunda derivada:
Como o termo
nunca é zero (pois
nunca é zero), a equação se reduz a:
Resposta
O valor de
deve ser
.