O objetivo desta questão é determinar os valores de b e c de modo que a função f: R R definida como f(x)=b-10 x e^-c x^2-5 intersecte o eixo y em 5 e tenha um ponto de inflexão em x=4 raiz3, e depois analisar o comportamento dessa função.
Responda cada uma das seguintes afirmações.
Para que f tenha um ponto de inflexão em x=4 raiz3, o valor de c deve ser:
  • 14
    ○ 16
    ○ 4
    O 116
  • 132

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função f(x) = b - 10x e^-c x^2 -5 e precisa encontrar os valores de b e c para que ela:
  1. Intercepte o eixo y em 5.
  2. Tenha um ponto de inflexão em x = 4raiz3 .
Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo, especificamente derivadas para encontrar os pontos de inflexão, e entender como funciona o gráfico da função para o intercepto no eixo y .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa interceptar o eixo y em 5. Isso quer dizer que quando x = 0 , f(0) = 5 .
Vamos substituir x = 0 na função:
f(0) = b - 10 cdot 0 cdot e^-c cdot 0^2 -5 = b
Então, b = 5 .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor de c tal que a função tenha um ponto de inflexão em x = 4raiz3 .
Para isso, vamos lembrar que um ponto de inflexão ocorre onde a segunda derivada da função muda de concavidade, ou seja, onde f''(x) = 0 .
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada f'(x) :
f(x) = 5 - 10x e^-c x^2 -5
f'(x) = -10 e^-c x^2 -5 + 10x cdot 2c x e^-c x^2 -5 = -10 e^-c x^2 -5 + 20c x^2 e^-c x^2 -5
Simplificando:
f'(x) = e^-c x^2 -5 (-10 + 20c x^2)
Agora, a segunda derivada f''(x) :
f''(x) = ddx [ e^-c x^2 -5 (-10 + 20c x^2) ]
Usando a regra do produto:
f''(x) = e^-c x^2 -5 cdot (40c x) + (-10 + 20c x^2) cdot (-2c x) e^-c x^2 -5
Simplificando:
f''(x) = e^-c x^2 -5 (40c x + 20c x - 40c^2 x^3)
f''(x) = e^-c x^2 -5 (60c x - 40c^2 x^3)
f''(x) = 20c x e^-c x^2 -5 (3 - 2c x^2)

Passo 4

Para que x = 4raiz3 seja um ponto de inflexão, precisamos que f''(4raiz3) = 0 .
Vamos substituir x = 4raiz3 na expressão da segunda derivada:
20c cdot 4raiz3 cdot e^-c (4raiz3)^2 -5 (3 - 2c (4raiz3)^2) = 0
Como o termo 20c cdot 4raiz3 cdot e^-c (4raiz3)^2 -5 nunca é zero (pois e^-c x^2 -5 nunca é zero), a equação se reduz a:
3 - 2c (4raiz3)^2 = 0
3 - 2c cdot 16 cdot 3 = 0
3 - 96c = 0
96c = 3
c = 396 = 132

Resposta

O valor de c deve ser 132 .

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