O objetivo desta questão é determinar os valores de
e
de modo que a função
definida como
intersecte o eixo
em 12 e tenha um ponto de inflexão em
, e depois analisar o comportamento dessa função.
Com os valores de
e
encontrados no itens anteriores:
A função
é decrescente para:
ou
ou
Com os valores de
A função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores de
e
na função
de modo que ela passe pelo ponto onde intercepta o eixo
em 12 e tenha um ponto de inflexão em
. Além disso, vamos analisar quando a função é decrescente. Para isso, vamos usar conceitos de funções, derivadas e análise de comportamento de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
usando a condição de que a função intercepta o eixo
em 12. Isso significa que quando
,
.
Substituindo
na função:
Então, temos que:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o valor de
sabendo que a função tem um ponto de inflexão em
. Um ponto de inflexão ocorre onde a segunda derivada da função é igual a zero.
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada
:
Simplificando:
Agora, a segunda derivada
:
Aplicando a regra do produto e simplificando:
Para o ponto de inflexão em
:
Então:
Calculando
e
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação quadrática para
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Então:
Calculando as duas soluções:
Como estamos lidando com expoentes e queremos que a função se comporte corretamente, escolhemos o valor mais adequado. Aqui, vamos optar por:
Passo 5
Agora que temos
e
, vamos analisar quando a função
é decrescente. Para isso, observamos a primeira derivada
.
Lembrando que:
A função será decrescente quando
.
Analisando o termo dentro dos parênteses:
Assim, a função é decrescente quando
ou
.
Resposta
A função
é decrescente para
ou
.