O objetivo desta questão é determinar os valores de b e c de modo que a função f: R R definida como f(x)=b-10 x e^-c x^2-5 intersecte o eixo y em 12 e tenha um ponto de inflexão em x=3 raiz3, e depois analisar o comportamento dessa função.
Com os valores de b e c encontrados no itens anteriores:
A função f é decrescente para:
-3<x<3
-6<x<6
x<-6 ou x>6
x<-3 ou x>3
0<x<3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores de b e c na função f(x) = b - 10x e^-c x^2 -5 de modo que ela passe pelo ponto onde intercepta o eixo y em 12 e tenha um ponto de inflexão em x = 3raiz3 . Além disso, vamos analisar quando a função é decrescente. Para isso, vamos usar conceitos de funções, derivadas e análise de comportamento de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de b usando a condição de que a função intercepta o eixo y em 12. Isso significa que quando x = 0 , f(0) = 12 .
Substituindo x = 0 na função:
f(0) = b - 10 cdot 0 cdot e^-c cdot 0^2 -5 = b
Então, temos que:
b = 12

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor de c sabendo que a função tem um ponto de inflexão em x = 3raiz3 . Um ponto de inflexão ocorre onde a segunda derivada da função é igual a zero.
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada f'(x) :
f'(x) = ddx ( 12 - 10x e^-c x^2 -5 ) = -10 e^-c x^2 -5 + 10x cdot 2c x e^-c x^2 -5
Simplificando:
f'(x) = -10 e^-c x^2 -5 (1 - 2c x^2 )
Agora, a segunda derivada f''(x) :
f''(x) = ddx ( -10 e^-c x^2 -5 (1 - 2c x^2 ) )
Aplicando a regra do produto e simplificando:
f''(x) = 10 e^-c x^2 -5 ( 4c^2 x^4 - 6c x^2 + 1 )
Para o ponto de inflexão em x = 3raiz3 :
f''(3raiz3) = 0
Então:
4c^2 (3raiz3)^4 - 6c (3raiz3)^2 + 1 = 0
Calculando (3raiz3)^2 = 27 e (3raiz3)^4 = 729 :
4c^2 cdot 729 - 6c cdot 27 + 1 = 0
Simplificando:
2916c^2 - 162c + 1 = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação quadrática para c :
2916c^2 - 162c + 1 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
c = 162 pm raiz162^2 - 4 cdot 2916 cdot 12 cdot 2916
Calculando o discriminante:
162^2 - 4 cdot 2916 cdot 1 = 26244 - 11664 = 14580
Então:
c = 162 pm raiz145805832 = 162 pm 120.665832
Calculando as duas soluções:
c1 = 162 + 120.665832 approx 282.665832 approx 0.0485
c2 = 162 - 120.665832 approx 41.345832 approx 0.00708
Como estamos lidando com expoentes e queremos que a função se comporte corretamente, escolhemos o valor mais adequado. Aqui, vamos optar por:
c approx 0.0485

Passo 5

Agora que temos b = 12 e c approx 0.0485 , vamos analisar quando a função f(x) = 12 - 10x e^-0.0485 x^2 -5 é decrescente. Para isso, observamos a primeira derivada f'(x) .
Lembrando que:
f'(x) = -10 e^-0.0485 x^2 -5 (1 - 2 cdot 0.0485 x^2 )
A função será decrescente quando f'(x) < 0 .
Analisando o termo dentro dos parênteses:
1 - 0.097x^2 < 0 Rightarrow x^2 > 10.097 approx 10.31 Rightarrow |x| > raiz10.31 approx 3.21
Assim, a função é decrescente quando x < -3.21 ou x > 3.21 .

Resposta

A função f é decrescente para x < -3 ou x > 3 .

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