O objetivo desta questão é determinar os valores de
e
de modo que a função
definida como
intersecte o eixo
em 12 e tenha um ponto de inflexão em
, e depois analisar o comportamento dessa função.
Com os valores de
e
encontrados no itens anteriores:
A função
tem concavidade para cima para:
ou
ou
Com os valores de
A função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar os valores de
e
na função
de modo que ela interseccione o eixo
em 12 e tenha um ponto de inflexão em
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas, para analisar o comportamento da função e encontrar os valores desejados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que a função intersecta o eixo
em 12. Isso acontece quando
. Então, basta substituir
na função:
Queremos que
, então:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
sabendo que há um ponto de inflexão em
. Um ponto de inflexão ocorre onde a segunda derivada da função muda de sinal, ou seja, onde a concavidade da função muda.
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada
:
Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Agora, a segunda derivada
:
Aplicando a regra do produto novamente:
Para encontrar o ponto de inflexão,
:
As soluções são
ou
:
Sabendo que o ponto de inflexão ocorre em
:
Passo 4
Então, encontramos os valores:
Agora, vamos analisar o comportamento da função, especificamente onde ela tem concavidade para cima.
Passo 5
A concavidade para cima ocorre quando a segunda derivada
. Usando a segunda derivada que encontramos:
Como
é sempre positivo, a concavidade depende do sinal de
:
Substituindo
:
Isso nos dá:
Então, os pontos críticos são
e
.
Analisando os intervalos:
-
: negativo e → Produto positivo. -
: negativo e → Produto negativo. -
: positivo e → Produto positivo. -
: positivo e → Produto negativo.
Portanto, a concavidade para cima ocorre quando
, ou seja:
Resposta
Os valores são
e
. A função
tem concavidade para cima nos intervalos
e
.