O objetivo desta questão é determinar os valores de b e c de modo que a função f: R R definida como f(x)=b-10 x e^-c x^2-5 intersecte o eixo y em 12 e tenha um ponto de inflexão em x=3 raiz3, e depois analisar o comportamento dessa função.
Com os valores de b e c encontrados no itens anteriores:
A função f tem concavidade para cima para:
0<x<3 raiz3
x<-3 raiz3
-3 raiz3<x<0 ou x>3 raiz3
0<x<3
x<-3 raiz3 ou 0<x<3 raiz3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar os valores de b e c na função f(x) = b - 10x e^-c x^2 -5 de modo que ela interseccione o eixo y em 12 e tenha um ponto de inflexão em x = 3raiz3 . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas, para analisar o comportamento da função e encontrar os valores desejados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que a função intersecta o eixo y em 12. Isso acontece quando x = 0 . Então, basta substituir x = 0 na função:
f(0) = b - 10 cdot 0 cdot e^-c cdot 0^2 -5 = b
Queremos que f(0) = 12 , então:
b = 12

Passo 3

Agora, precisamos encontrar c sabendo que há um ponto de inflexão em x = 3raiz3 . Um ponto de inflexão ocorre onde a segunda derivada da função muda de sinal, ou seja, onde a concavidade da função muda.
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada f'(x) :
f(x) = 12 - 10x e^-c x^2 -5
Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
f'(x) = -10 e^-c x^2 -5 + (-10x) cdot e^-c x^2 -5 cdot (-2c x)
f'(x) = -10 e^-c x^2 -5 + 20c x^2 e^-c x^2 -5
f'(x) = e^-c x^2 -5 (-10 + 20c x^2)
Agora, a segunda derivada f''(x) :
f''(x) = ddx [ e^-c x^2 -5 (-10 + 20c x^2) ]
Aplicando a regra do produto novamente:
f''(x) = e^-c x^2 -5 cdot ddx (-10 + 20c x^2) + (-10 + 20c x^2) cdot ddx ( e^-c x^2 -5 )
f''(x) = e^-c x^2 -5 (40c x) + (-10 + 20c x^2) (-2c x) e^-c x^2 -5
f''(x) = e^-c x^2 -5 [40c x + (20c x^2 -10)(-2c x)]
f''(x) = e^-c x^2 -5 [40c x -40c^2 x^3 + 20c x]
f''(x) = e^-c x^2 -5 [60c x -40c^2 x^3]
Para encontrar o ponto de inflexão, f''(x) = 0 :
60c x - 40c^2 x^3 = 0
x (60c - 40c^2 x^2) = 0
As soluções são x = 0 ou 60c - 40c^2 x^2 = 0 :
60c = 40c^2 x^2
60 = 40c x^2
c = 6040 x^2 = 32 x^2
Sabendo que o ponto de inflexão ocorre em x = 3raiz3 :
c = 32 (3raiz3)^2 = 32 cdot 27 = 354 = 118

Passo 4

Então, encontramos os valores:
b = 12 e c = 118
Agora, vamos analisar o comportamento da função, especificamente onde ela tem concavidade para cima.

Passo 5

A concavidade para cima ocorre quando a segunda derivada f''(x) > 0 . Usando a segunda derivada que encontramos:
f''(x) = e^-c x^2 -5 [60c x -40c^2 x^3]
Como e^-c x^2 -5 é sempre positivo, a concavidade depende do sinal de 60c x -40c^2 x^3 :
60c x -40c^2 x^3 > 0
x (60c - 40c^2 x^2) > 0
Substituindo c = 118 :
x (60 cdot 118 - 40 cdot (118)^2 x^2) > 0
x (6018 - 40324 x^2) > 0
x (103 - 1081 x^2) > 0
x (103 (1 - x^227)) > 0
Isso nos dá:
x (1 - x^227) > 0
Então, os pontos críticos são x = 0 e x = pm 3raiz3 .
Analisando os intervalos:
  1. x < -3raiz3 : x negativo e 1 - x^227 < 0 → Produto positivo.
  2. -3raiz3 < x < 0 : x negativo e 1 - x^227 > 0 → Produto negativo.
  3. 0 < x < 3raiz3 : x positivo e 1 - x^227 > 0 → Produto positivo.
  4. x > 3raiz3 : x positivo e 1 - x^227 < 0 → Produto negativo.
Portanto, a concavidade para cima ocorre quando f''(x) > 0 , ou seja:
0 < x < 3raiz3 e x < -3raiz3

Resposta

Os valores são b = 12 e c = 118 . A função f tem concavidade para cima nos intervalos 0 < x < 3raiz3 e x < -3raiz3 .

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