O objetivo deste exercício é demonstrar a desigualdade de Cauchy-Schwarz: dados dois vetores u, v in R^n, temos que
|lang<=u, vrang<=| <=|u| cdot|v|,
com igualdade se e somente se u e v forem colineares (i.e. proporcionais). (lembrar que se u=(u1, ldots, un) e v=(v1, ldots, vn), então o produto escalar (canônico) lang<=u, vrang<= de u e v e a norma (Euclideana) |u| de u são respectivamente dados por lang<=u, vrang<==u1 v1+cdots+un vn e|u|=raizlang<=u, urang<=)
Mostre que |u+t v|^2=|u|^2+2lang<=u, vrang<= t+|v|^2 t^2 para todo u, v in R^n;

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade
|u+tv|^2 = |u|^2 + 2lang<=u,vrang<=,t + |v|^2,t^2
para quaisquer u,vinR^n e escalar t. Vamos usar a definição de norma euclidiana |w|^2 = lang<=w,wrang<= e as propriedades bilineares e simétricas do produto escalar.

Passo 2

Começamos escrevendo a norma ao quadrado como produto escalar:
|u+tv|^2 = llang<= u+tv,,u+tvrrang<=

Passo 3

Expandindo pela bilinearidade do produto escalar, obtemos quatro termos:
llang<= u+tv,,u+tvrrang<= = lang<=u,urang<= + lang<=u,tvrang<= + lang<= tv,urang<= + lang<= tv,tvrang<=

Passo 4

Agora extraímos os escalares e usamos a simetria lang<=v,urang<==lang<=u,vrang<=:
lang<=u,urang<= = |u|^2, lang<=u,tvrang<= = t,lang<=u,vrang<=, lang<= tv,urang<= = t,lang<=v,urang<= = t,lang<=u,vrang<=,
lang<= tv,tvrang<= = t^2,lang<=v,vrang<= = t^2,|v|^2
Somando tudo:
|u+tv|^2 = |u|^2 + t,lang<=u,vrang<= + t,lang<=u,vrang<= + t^2,|v|^2 = |u|^2 + 2lang<=u,vrang<=,t + |v|^2,t^2

Resposta

|u+tv|^2 = |u|^2 + 2lang<=u,vrang<=,t + |v|^2,t^2

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