O objetivo deste exercício é demonstrar a desigualdade de Cauchy-Schwarz: dados dois vetores
, temos que
com igualdade se e somente se
e
forem colineares (i.e. proporcionais). (lembrar que se
e
, então o produto escalar (canônico)
de
e
e a norma (Euclideana)
de
são respectivamente dados por
Mostre que
para todo
;
Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade
para quaisquer
e escalar
. Vamos usar a definição de norma euclidiana
e as propriedades bilineares e simétricas do produto escalar.
Passo 2
Começamos escrevendo a norma ao quadrado como produto escalar:
Passo 3
Expandindo pela bilinearidade do produto escalar, obtemos quatro termos:
Passo 4
Agora extraímos os escalares e usamos a simetria
:
Somando tudo: