Use o teste da raiz para determinar a convergência ou a divergência da série.
sumn=0^infty(1n-1n^2)^n.

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o teste da raiz na série sumn=2^inftyl(tfrac1n-tfrac1n^2r)^n. O conteúdo é o teste da raiz, que exige calcular raiz[n]|an| e analisar seu limite.

Passo 2

O termo geral é an=l(tfrac1n-tfrac1n^2r)^n. Pelo teste da raiz, definimos
L=limsupntoinftyraiz[n]|an|
e usamos que se L<1 a série converge absolutamente.

Passo 3

Vamos calcular
raiz[n]|an|=raiz[n]l(tfrac1n-tfrac1n^2r)^n=tfrac1n-tfrac1n^2
Tomando limite quando ntoinfty:
limntoinftyl(tfrac1n-tfrac1n^2r)=0

Passo 4

Como o valor do teste da raiz é L=0<1, concluímos que a série converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série converge, pois pelo teste da raiz obtemos L=0<1.

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