O objetivo deste exercício é demonstrar a desigualdade de Cauchy-Schwarz: dados dois vetores u, v in R^n, temos que
|lang<=u, vrang<=| <=|u| cdot|v|,
com igualdade se e somente se u e v forem colineares (i.e. proporcionais). (lembrar que se u=(u1, ldots, un) e v=(v1, ldots, vn), então o produto escalar (canônico) lang<=u, vrang<= de u e v e a norma (Euclideana) |u| de u são respectivamente dados por lang<=u, vrang<==u1 v1+cdots+un vn e|u|=raizlang<=u, urang<=)
Mostre que se v neq 0, o polinômio de segundo grau P(t) dado no item (a) possui no máximo uma raiz real, e que isso ocorre se e somente se u e v forem colineares.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado u,vinR^n com vneq0, o polinômio de segundo grau
P(t)=|u-tv|^2
tem no máximo uma raiz real, e que ele possui exatamente uma raiz real se e somente se u e v são colineares. Vamos usar definições de produto escalar, norma e propriedades de polinômios quadráticos não negativos.

Passo 2

Definindo
P(t)=lang<= u-tv,,u-tvrang<=,
expandimos usando linearidade do produto escalar:
P(t) =lang<= u,urang<= -2t,lang<= u,vrang<= +t^2lang<= v,vrang<= =|u|^2-2tlang<= u,vrang<=+t^2|v|^2

Passo 3

Como P(t)=|u-tv|^2>=0 para todo t, e como o coeficiente quadrático |v|^2 é positivo, P é um polinômio convexo que nunca fica abaixo do eixo t. Logo, a equação P(t)=0 não pode ter duas raízes distintas. Em termos de discriminante temos
De<a =(-2lang<= u,vrang<=)^2 -4,|v|^2,|u|^2 =4l(lang<= u,vrang<=^2-|u|^2|v|^2r)<=0,
o que garante no máximo uma raiz real.

Passo 4

A condição De<a=0 equivale a
lang<= u,vrang<=^2=|u|^2|v|^2
Se u=t0v então
P(t)=|t0v-tv|^2=(t-t0)^2|v|^2
tem raiz dupla t=t0. Reciprocamente, se P(t) tem uma única raiz t0, então u-t0v=0, ou seja u=t0v. Assim, existe raiz real simples se e somente se u e v forem colineares.

Resposta

O polinômio P(t) tem no máximo uma raiz real, e ele possui exatamente uma raiz real se e somente se u e v são colineares.

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