O objetivo deste exercício é demonstrar a desigualdade de Cauchy-Schwarz: dados dois vetores
, temos que
com igualdade se e somente se
e
forem colineares (i.e. proporcionais). (lembrar que se
e
, então o produto escalar (canônico)
de
e
e a norma (Euclideana)
de
são respectivamente dados por
Mostre que se
, o polinômio de segundo grau
dado no item (a) possui no máximo uma raiz real, e que isso ocorre se e somente se
e
forem colineares.
Mostre que se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado
com
, o polinômio de segundo grau
tem no máximo uma raiz real, e que ele possui exatamente uma raiz real se e somente se
e
são colineares. Vamos usar definições de produto escalar, norma e propriedades de polinômios quadráticos não negativos.
Passo 2
Definindo
expandimos usando linearidade do produto escalar:
Passo 3
Como
para todo
, e como o coeficiente quadrático
é positivo,
é um polinômio convexo que nunca fica abaixo do eixo
. Logo, a equação
não pode ter duas raízes distintas. Em termos de discriminante temos
o que garante no máximo uma raiz real.
Passo 4
A condição
equivale a
Se
então
tem raiz dupla
. Reciprocamente, se
tem uma única raiz
, então
, ou seja
. Assim, existe raiz real simples se e somente se
e
forem colineares.
Resposta
O polinômio
tem no máximo uma raiz real, e ele possui exatamente uma raiz real se e somente se
e
são colineares.