Verificar se as seguintes integrais convergem:
integral0^infty cos (t) e^-t d t

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência de
integral0^inftycos(t),e^-t,dt
O conteúdo aqui é de integrais impróprias em que o limite superior é infinito. Para resolver, vamos aplicar o teste de convergência absoluta (comparação com uma função mais simples) e em seguida calcular o valor da integral.

Passo 2

Para testar a convergência absoluta, note que
l|cos(t),e^-tr| = |cos(t)|,e^-t <= e^-t
Como
integral0^infty e^-t,dt = l[-e^-tr]0^infty = 1 < infty,
pelo teste da comparação concluímos que integral0^inftycos(t),e^-t,dt converge absolutamente e, portanto, converge.

Passo 3

Para calcular o valor da integral, usamos a identidade cos(t)=Rel(e^i tr). Assim,
integral0^inftycos(t),e^-t,dt = Reintegral0^inftye^-(1 - i),t,dt = Regl[11 - igr]
Como
11 - i = 1+i(1-i)(1+i) = 1+i2,
temos
Rel[tfrac1+i2r] = 12

Resposta

A integral converge absolutamente e seu valor é tfrac12.

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