Verificar se as seguintes integrais convergem: integral0^infty cos (t) e^-t d t Passo 1O enunciado pede para verificar a convergência de integral0^inftycos(t),e^-t,dt O conteúdo aqui é de integrais impróprias em que o limite superior é infinito. Para resolver, vamos aplicar o teste de convergência absoluta (comparação com uma função mais simples) e em seguida calcular o valor da integral. Passo 2Para testar a convergência absoluta, note que l|cos(t),e^-tr| = |cos(t)|,e^-t <= e^-t Como integral0^infty e^-t,dt = l[-e^-tr]0^infty = 1 < infty, pelo teste da comparação concluímos que integral0^inftycos(t),e^-t,dt converge absolutamente e, portanto, converge. Passo 3Para calcular o valor da integral, usamos a identidade cos(t)=Rel(e^i tr). Assim, integral0^inftycos(t),e^-t,dt = Reintegral0^inftye^-(1 - i),t,dt = Regl[11 - igr] Como 11 - i = 1+i(1-i)(1+i) = 1+i2, temos Rel[tfrac1+i2r] = 12 RespostaA integral converge absolutamente e seu valor é tfrac12. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionados 13.Um objeto se move ao longo da curva x y=10 .Se x=2 e d yd t=3 ,o valor de d xd t é (A) -52 (B) -65 (C) 0 (E) 65 (X) 45 x y^prime+x^prime y=0 (RA1) A taxa de crescimento da população de uma cidade da América do Sul é prevista por d Pd t=1000 t^1,08, onde P é a população no instante t, medidos em anos a partir do presente. Suponha que a população atual seja de 100000. Qual é a previsão: a) Da taxa de crescimento daqui a 5 anos? b) Da população daqui a 5 anos? O objetivo deste exercício é formalizar a ideia comentada em sala de aula de que a derivada de uma função f em um ponto p define uma aproximação linear de f em torno do ponto p. Siga o roteiro abaix ^1. a) Dada uma função f: dom(f) R derivável em um ponto p in dom(f), escreva a equação da reta tangente rp ao gráfico de f no ponto (p, f(p)) e faça um esboço do gráfico de f e da reta tangente. b) Defina, para x in dom(f), x neq p a função rho(x) doteq f(x)-f(p)-f^prime(p)(x-p)x-p e mostre que lim x p rho(x)=0. Você reconhece o numerador de rho(x) em termos da reta tangente? c) Defina rho(p) para que a função rho seja contínua em p. d) Denotamos por E(x) doteq rho(x)(x-p) a função que calcula o erro cometido ao aproximar f pela reta tangente rp (no ponto (p, f(p)) ). No item (b) mostramos que lim x p E(x)x-p=0, este limite deve ser entendido como "o erro E(x) cometido na aproximação linear tende a zero mais rapidamente que (x-p) ". e) É possível provar ainda que: dentre todas as retas que passam por (p, f(p)), a reta tangente ao gráfico de f (que chamamos de rp ) é a única que se aproxima de f fazendo com que o erro tenda a zero mais rapidamente que x-p. Dica: Para formalizar o item (e), suponha que E(x) é o erro cometido ao aproximar f por uma reta passando por (p, f(p)) com coeficiente angular m neq f^prime(p) e calcule o limite lim x 0 E(x)x-p. Quais das expressões vetoriais a seguir estão corretas? O que está errado nas expressões incorretas? 5+(B cdot C)