Suponha que temos uma amostra aleatória de 16 dias da temperatura média (em graus celsius) durante o verão, ao meio dia, para uma determinada cidade. Construa um intervalo de confiança de 95 % para a temperatura média real da cidade (mu) durante essa estação ao meio dia. Use barx=35 ; sigma=2 (graus celsius).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma amostra de 16 dias das temperaturas médias ao meio-dia durante o verão numa cidade. O objetivo aqui é construir um intervalo de confiança de 95% para a temperatura média real dessa cidade nesse horário. Para isso, vamos usar estatística, especificamente conceitos de intervalos de confiança, e precisar de alguns dados: a média da amostra ( barx=35 graus Celsius) e o desvio padrão da população ( sigma=2 graus Celsius).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um intervalo de confiança. Imagine que você quer estimar a média real das temperaturas, mas só tem uma amostra. O intervalo de confiança nos dá uma faixa de valores dentro da qual a média real provavelmente está, com um certo nível de confiança, no caso, 95%.

Passo 3

Para calcular esse intervalo, usamos uma fórmula que envolve a média da amostra, o desvio padrão da população e algo chamado “valor crítico”, que depende do nível de confiança que escolhemos. A fórmula é:
Intervalo de Confiança = barx pm Z times ( sigmaraizn ) ç
Onde:
  • barx é a média da amostra
  • Z é o valor crítico da distribuição normal padrão para o nível de confiança desejado
  • sigma é o desvio padrão da população
  • n é o tamanho da amostra

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão, que é sigmaraizn. Isso nos dá uma ideia de quanta variação esperamos na média da amostra em relação à média real da população.
Erro Padrão = 2raiz16 = 24 = 0,5 ã

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor crítico Z para um intervalo de confiança de 95%. Esse valor corresponde a quantos desvios padrão a média da amostra está da média real para capturar 95% dos casos. Olhando numa tabela de distribuição normal, vemos que Z approx 1,96 para 95%.

Passo 6

Com o valor crítico e o erro padrão, calculamos a margem de erro:
Mar>=m de Erro = Z times Erro Padrão = 1,96 times 0,5 = 0,98 ã

Passo 7

Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo a margem de erro da média da amostra:
Intervalo de Confiança = 35 pm 0,98 ç
Isso resulta em:
34,02 <= mu <= 35,98

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a temperatura média real da cidade ao meio-dia durante o verão é entre 34,02°C e 35,98°C.

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