Com o objetivo de fazer uma previdência particular uma pessoa deposita uma quantia de R por mês durante 20 anos (suponha que o depósito é feito continuamente a uma taxa de R por mês durante 20 anos (suponha que o depósito é feito continuamente a uma taxa de R por mês e que o saldo inicial é zero).
Supondo que neste período a taxa de juros seja de 100,00 ao mês (contínua), qual o valor que esta pessoa iria ter ao fim deste período.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma pessoa que quer fazer uma previdência privada, ou seja, investir R$ 100,00 todo mês por 20 anos. A taxa de juros é de 1 % ao mês, e estamos considerando que os juros são compostos de forma contínua. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de matemática financeira, especialmente sobre juros compostos contínuos e como calcular o valor acumulado com depósitos contínuos ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis envolvidas:
  • Depósito mensal §: R$ 100,00
  • Tempo (t): 20 anos (que vamos converter para meses, já que a taxa é mensal)
  • Taxa de juros ®: 1 % ao mês (em decimal, fica 0,01)
  • Número de períodos (n): 20 anos × 12 meses = 240 meses
  • Saldo inicial (S₀): R$ 0,00
Como estamos lidando com juros compostos contínuos e depósitos contínuos, vamos usar uma fórmula que envolve integrais para calcular o valor futuro acumulado.

Passo 3

A fórmula para calcular o valor futuro (FV) com depósitos contínuos e juros compostos de forma contínua é:
FV = P times e^r times t - 1e^r - 1
Mas, como o depósito é feito continuamente, a fórmula se ajusta para:
FV = P times e^r times t - 1r
Onde:
  • $ e $ é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828)
  • $ r $ é a taxa de juros contínua
  • $ t $ é o tempo total

Passo 4

Vamos adaptar a fórmula para o nosso caso:
  • P: R$ 100,00 por mês
  • r: 0,01 (1 % ao mês)
  • t: 240 meses
Substituindo na fórmula:
100,00 por mês - **r:** 0,01 (1% ao mês) - **t:** 240 meses Substituindo na fórmula:

Passo 5

Agora, vamos calcular o expoente:
0,01 times 240 = 2,4
Então:
e^2,4 approx 11,0232
Subtraindo 1:
11,0232 - 1 = 10,0232
Dividindo por 0,01:
10,02320,01 = 1002,32
Multiplicando pelo depósito mensal:
100 times 1002,32 = 100,232

Resposta

Ao final dos 20 anos, essa pessoa teria aproximadamente R$ 100.232,00 na sua previdência privada.

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