Com o objetivo de fazer uma previdência particular uma pessoa deposita uma quantia de R
por mês durante 20 anos (suponha que o depósito é feito continuamente a uma taxa de R
por mês e que o saldo inicial é zero).
Supondo que neste período a taxa de juros seja de
ao mês (contínua), qual o valor que esta pessoa iria ter ao fim deste período.
Supondo que neste período a taxa de juros seja de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma pessoa que quer fazer uma previdência privada, ou seja, investir R$ 100,00 todo mês por 20 anos. A taxa de juros é de 1 % ao mês, e estamos considerando que os juros são compostos de forma contínua. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de matemática financeira, especialmente sobre juros compostos contínuos e como calcular o valor acumulado com depósitos contínuos ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis envolvidas:
- Depósito mensal §: R$ 100,00
- Tempo (t): 20 anos (que vamos converter para meses, já que a taxa é mensal)
- Taxa de juros ®: 1 % ao mês (em decimal, fica 0,01)
- Número de períodos (n): 20 anos × 12 meses = 240 meses
- Saldo inicial (S₀): R$ 0,00
Como estamos lidando com juros compostos contínuos e depósitos contínuos, vamos usar uma fórmula que envolve integrais para calcular o valor futuro acumulado.
Passo 3
A fórmula para calcular o valor futuro (FV) com depósitos contínuos e juros compostos de forma contínua é:
Mas, como o depósito é feito continuamente, a fórmula se ajusta para:
Onde:
- $ e $ é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828)
- $ r $ é a taxa de juros contínua
- $ t $ é o tempo total
Passo 4
Vamos adaptar a fórmula para o nosso caso:
- P: R$ 100,00 por mês
- r: 0,01 (1 % ao mês)
- t: 240 meses
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Agora, vamos calcular o expoente:
Então:
Subtraindo 1:
Dividindo por 0,01:
Multiplicando pelo depósito mensal:
Resposta
Ao final dos 20 anos, essa pessoa teria aproximadamente R$ 100.232,00 na sua previdência privada.