Resolva as integrais abaixo
integral0^1 cos (x^13)x^23 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral definida integral0^1 cos (x^13)x^23 , dx. Esse exercício pertence ao conteúdo de cálculo integral, especificamente sobre técnicas de substituição para resolver integrais. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição adequada que simplifique a expressão dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Observando a expressão x^13, vamos definir t = x^13. Isso significa que x = t^3.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de x em relação a t para substituir dx na integral. Calculando:
dx = ddt(t^3) , dt = 3t^2 , dt

Passo 4

Substituímos x e dx na integral original. Também precisamos ajustar os limites de integração de acordo com a substituição:
  • Quando x = 0, t = 0^13 = 0.
  • Quando x = 1, t = 1^13 = 1.
A integral fica então:
integral0^1 cos(t)(t^3)^23 cdot 3t^2 , dt

Passo 5

Simplificamos a expressão dentro da integral. Calculamos (t^3)^23 = t^2, então a integral fica:
integral0^1 cos(t)t^2 cdot 3t^2 , dt = integral0^1 3cos(t) , dt

Passo 6

Agora, a integral ficou bem mais simples:
3 integral0^1 cos(t) , dt
A integral de cos(t) é sin(t), então:
3 [ sin(t) ]0^1 = 3 [sin(1) - sin(0)] = 3 sin(1)

Resposta

A integral integral0^1 cos (x^13)x^23 , dx é igual a 3 sin(1).

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