Resolva as integrais abaixo
integral0^4 d xraiz16-x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral0^4 dxraiz16 - x^2. Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo raízes quadradas de expressões quadráticas. Para resolver, vamos usar um método chamado substituição trigonométrica, que ajuda a simplificar integrais com essa estrutura.

Passo 2

Primeiro, observe que a expressão dentro da raiz é 16 - x^2. Isso lembra a identidade trigonométrica sin^2(theta) + cos^2(theta) = 1. Vamos fazer uma substituição que aproveite essa identidade.

Passo 3

Vamos definir x = 4sin(theta). Por que 4? Porque 16 = 4^2, o que vai facilitar nossos cálculos. Agora, vamos derivar essa substituição para encontrar dx:
dx = 4cos(theta) dtheta

Passo 4

Substituindo x e dx na integral original:
integral 4cos(theta) dthetaraiz16 - (4sin(theta))^2
Simplificando a expressão dentro da raiz:
raiz16 - 16sin^2(theta) = raiz16(1 - sin^2(theta)) = raiz16cos^2(theta) = 4cos(theta)

Passo 5

Agora, a integral fica:
integral 4cos(theta) dtheta4cos(theta) = integral dtheta = theta + C
Onde C é a constante de integração. Como estamos resolvendo uma integral definida, vamos aplicar os limites de integração após a substituição.

Passo 6

Precisamos ajustar os limites de integração para termos em termos de theta. Quando x = 0:
0 = 4sin(theta) Rightarrow sin(theta) = 0 Rightarrow theta = 0
E quando x = 4:
4 = 4sin(theta) Rightarrow sin(theta) = 1 Rightarrow theta = pi2

Passo 7

Agora, integramos de theta = 0 a theta = pi2:
integral0^pi2 dtheta = [ theta ]0^pi2 = pi2 - 0 = pi2

Resposta

O valor da integral é pi2.

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