Resolva as integrais abaixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo raízes quadradas de expressões quadráticas. Para resolver, vamos usar um método chamado substituição trigonométrica, que ajuda a simplificar integrais com essa estrutura.
Passo 2
Primeiro, observe que a expressão dentro da raiz é
. Isso lembra a identidade trigonométrica
. Vamos fazer uma substituição que aproveite essa identidade.
Passo 3
Vamos definir
. Por que 4? Porque
, o que vai facilitar nossos cálculos. Agora, vamos derivar essa substituição para encontrar
:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Passo 5
Agora, a integral fica:
Onde
é a constante de integração. Como estamos resolvendo uma integral definida, vamos aplicar os limites de integração após a substituição.
Passo 6
Precisamos ajustar os limites de integração para termos em termos de
. Quando
:
E quando
:
Passo 7
Agora, integramos de
a
:
Resposta
O valor da integral é
.