Nosso objetivo, neste exercício, é encontrar os valores de x que minimizam o comprimento do segmento vertical A B, em que A=(x, 16 x^2) e B=(x, -1x^2).
Explique porque x=0 não é um ponto crítico de f(x).

Passo 1

O enunciado nos dá dois pontos em função de x:
A = l(x,,16x^2r), B = l(x,,-tfrac1x^2r),
e quer minimizar a distância vertical entre A e B. Como eles têm mesma abscissa x, o comprimento do segmento vertical vale
|yA - yB| = l|,16x^2 - l(-tfrac1x^2r)r| = 16x^2 + 1x^2
Definimos, então,
f(x) = 16x^2 + 1x^2
Vamos usar cálculo diferencial, em particular a noção de domínio da função e de ponto crítico, para explicar por que x=0 não é ponto crítico.

Passo 2

Determinar o domínio de f. O termo tfrac1x^2 exige que xneq 0. Logo
Dom(f) = Rsetminus0

Passo 3

Lembrando a definição: ponto crítico de f é qualquer x no domínio de f em que
  1. f'(x)=0, ou
  2. f' não exista.
    Mas, em todo caso, um ponto crítico deve pertencer ao domínio de f.

Passo 4

Como x=0 não pertence a Dom(f), a função f sequer está definida em x=0. Portanto, não faz sentido falar em derivada ali, e muito menos em ponto crítico.

Resposta

x=0 não é ponto crítico de f porque f não está definida em x=0 (o domínio exclui 0).

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