Resolva as integrais abaixo
integral12^1 d xx raiz[7](ln (x))^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integraltfrac12^1dxxraiz[7](ln(x))^2
Este é um caso típico de substituição logarítmica, pois aparece ln(x) junto com dx/x. Também vamos precisar tratar o valor absoluto de ln(x), já que em tfrac12<= x<1 temos ln(x)<0.

Passo 2

Fazemos a troca de variável
t = ln(x),
de modo que
dt = dxx
Os limites em x se transformam em t: quando x=tfrac12 vem t=ln(tfrac12)=-ln2 e quando x=1 vem t=ln(1)=0.

Passo 3

Sob essa substituição a integral fica
integralt=-ln2^01raiz[7]t^2,dt
Como em todo o intervalo t<=0, o módulo |t|=-t. Logo
1raiz[7]t^2=1l(|t|r)^2/7=1(-t)^2/7

Passo 4

Para eliminar o sinal negativo, fazemos u=-t. Então du=-dt e os limites viram u(-ln2)=ln2 até u(0)=0. A integral passa a ser
integralu=ln2^0u^-2/7(-du) =integral0^ln2u^-2/7,du

Passo 5

Agora integramos a potência de u. Como a exponent é -tfrac27, temos
integral u^-2/7,du =u^-2/7+1-2/7+1 =u^5/75/7 =75,u^5/7

Passo 6

Avaliamo-la de u=0 até u=ln 2. No limite inferior u^5/7=0, então sobra
75 (ln 2)^5/7

Resposta

75,(ln2)^5/7

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