O objetivo da pesquisa é levantar o perfil dos estudantes de nível superior residentes numa determinada cidade, tendo como estimativa prévia que 10% da população são estudantes de nível superior em uma cidade de 100 mil habitantes. Determinar a amostra para um NC de 99,7 \% e um erro de 2 \%.

Passo 1

Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, clarinho (sem resolver ainda).
  • População total: N=100{,}000.
  • Estimativa prévia da proporção de interesse: p=0{,}10.
  • Complemento da proporção: q=1-p.
  • Nível de confiança: 99{,}7\%.
  • Erro máximo tolerado (margem de erro): E=0{,}02 (ou seja 2\%).
    O que o enunciado pede: determinar o tamanho da amostra n a ser usada para estimar a proporção com essas condições.

Passo 2

Explicando a ideia e a fórmula inicial (sem correção de população finita).
  • Quando queremos estimar uma proporção com um dado nível de confiança e erro máximo, usamos a fórmula para amostra em população praticamente infinita:
n_0 = \frac{z^{2}\,p\,q}{E^{2}}.
  • Aqui cada símbolo significa:
    • n_0: tamanho de amostra calculado para população infinita (ou muito grande).
    • z: quantil da distribuição normal padrão que corresponde ao nível de confiança desejado (por exemplo, para 95\% usa-se z\approx1{,}96).
    • p: estimativa da proporção ( 0{,}10 no enunciado).
    • q: 1-p (probabilidade complementar).
    • E: erro máximo permitido (margem de erro), aqui 0{,}02.
      Essa fórmula vem da expressão da margem de erro para proporções na distribuição normal aproximada.

Passo 3

Escolher o valor de z para nível de confiança 99{,}7\%.
  • O nível 99{,}7\% é o famoso “3-sigma” da regra empírica; portanto usamos
z \approx 3{,}00.
(Se quisesse mais precisão, poderia usar a quantila exata \Phi^{-1}(0{,}9985), que dá valor muito próximo de 3{,}00.)

Passo 4

Calcular p, q, z^{2} e E^{2} para usar na fórmula.
p = 0{,}10,\qquad q = 1 - p = 0{,}90.
z^{2} = (3{,}00)^{2} = 9{,}00.
E^{2} = (0{,}02)^{2} = 0{,}0004.

Passo 5

Calcular n_0 passo a passo substituindo na fórmula da população infinita.
n_0 = \frac{z^{2}\,p\,q}{E^{2}} = \frac{9{,}00 \times 0{,}10 \times 0{,}90}{0{,}0004}.
Calcule o numerador:
9{,}00\times 0{,}10 \times 0{,}90 = 9{,}00\times 0{,}09 = 0{,}81.
Agora divida:
n_0 = \frac{0{,}81}{0{,}0004} = 2025.
Interpretação: se a população fosse muito grande, precisaríamos de 2025 observações para garantir o erro 2\% com 99{,}7\% de confiança.

Passo 6

Aplicar a correção para população finita (porque N=100{,}000 não é “infinito” em relação a n_0).
  • Fórmula com correção de população finita:
n = \frac{N\,n_0}{N + n_0 - 1}.
  • Nesta fórmula:
    • n é o tamanho de amostra ajustado para população finita.
    • N é o tamanho da população (aqui 100{,}000).
    • n_0 é o valor calculado no passo anterior.

Passo 7

Calcular n com os números dados.
Substituindo:
n = \frac{100{,}000 \times 2025}{100{,}000 + 2025 - 1}.
Calcule numerador e denominador:
\text{numerador} = 100{,}000 \times 2025 = 202{,}500{,}000,
\text{denominador} = 100{,}000 + 2025 - 1 = 102{,}024.
Agora a divisão (aproximação decimal):
n \approx \frac{202{,}500{,}000}{102{,}024} \approx 1984{,}83.
Regra prática: sempre arredondar para cima o tamanho da amostra para garantir que o erro máximo não seja ultrapassado. Portanto:
n = 1985.

Passo 8

Observações finais rápidas e motivação.
  • Sem correção de população finita teria dado n_0=2025; a correção reduziu um pouco para n=1985 porque a população é finita.
  • Use sempre n inteiro e arredonde para cima.
  • Força aí — com 1985 entrevistas/observações você alcança a precisão desejada ( 2\%) com confiança 99{,}7\%. Vai dar certo!

Resposta

n = 1985

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