O objetivo da pesquisa é levantar o perfil dos estudantes de nível superior residentes numa determinada cidade, tendo como estimativa prévia que 10% da população são estudantes de nível superior em uma cidade de 100 mil habitantes. Determinar a amostra para um NC de
e um erro de
.
Passo 1
Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, clarinho (sem resolver ainda).
- População total:
. - Estimativa prévia da proporção de interesse:
. - Complemento da proporção:
. - Nível de confiança:
. - Erro máximo tolerado (margem de erro):
(ou seja ).
O que o enunciado pede: determinar o tamanho da amostraa ser usada para estimar a proporção com essas condições.
Passo 2
Explicando a ideia e a fórmula inicial (sem correção de população finita).
- Quando queremos estimar uma proporção com um dado nível de confiança e erro máximo, usamos a fórmula para amostra em população praticamente infinita:
- Aqui cada símbolo significa:
-
: tamanho de amostra calculado para população infinita (ou muito grande). -
: quantil da distribuição normal padrão que corresponde ao nível de confiança desejado (por exemplo, para usa-se ). -
: estimativa da proporção ( no enunciado). -
: (probabilidade complementar). -
: erro máximo permitido (margem de erro), aqui .
Essa fórmula vem da expressão da margem de erro para proporções na distribuição normal aproximada.
-
Passo 3
Escolher o valor de
para nível de confiança
.
- O nível
é o famoso “3-sigma” da regra empírica; portanto usamos
(Se quisesse mais precisão, poderia usar a quantila exata
, que dá valor muito próximo de
.)
Passo 4
Calcular
,
,
e
para usar na fórmula.
Passo 5
Calcular
passo a passo substituindo na fórmula da população infinita.
Calcule o numerador:
Agora divida:
Interpretação: se a população fosse muito grande, precisaríamos de
observações para garantir o erro
com
de confiança.
Passo 6
Aplicar a correção para população finita (porque
não é “infinito” em relação a
).
- Fórmula com correção de população finita:
- Nesta fórmula:
-
é o tamanho de amostra ajustado para população finita. -
é o tamanho da população (aqui ). -
é o valor calculado no passo anterior.
-
Passo 7
Calcular
com os números dados.
Substituindo:
Substituindo:
Calcule numerador e denominador:
Agora a divisão (aproximação decimal):
Regra prática: sempre arredondar para cima o tamanho da amostra para garantir que o erro máximo não seja ultrapassado. Portanto:
Passo 8
Observações finais rápidas e motivação.
- Sem correção de população finita teria dado
; a correção reduziu um pouco para porque a população é finita. - Use sempre
inteiro e arredonde para cima. - Força aí — com
entrevistas/observações você alcança a precisão desejada ( ) com confiança . Vai dar certo!