Com o objetivo de proporcionar dados para basear os estudos referentes a reajustes de salários de seus funcionários operacionais, promoções, remanejamento, reenquadramento, manutenção do programa de cargos e salários, uma empresa do ramo de construção civil solicitou uma pesquisa de seu perfil salarial ao departamento de pessoal. A tabela a seguir dá a distribuição salarial dos funcionários dessa empresa. Qual o salário mediano desta empresa?
Salários Minimos
(S.M.)
Número de funcionários
da empresa
12
27
34
29
19
16
13
7
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12 | ||||
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27 | ||||
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34 | ||||
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29 | ||||
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19 | ||||
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16 | ||||
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13 | ||||
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7 |
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar o salário mediano da empresa (ou seja, o valor que divide ao meio a distribuição dos funcionários).
Informações fornecidas (tabela de classes e frequências):
Classe
Frequência
Informações fornecidas (tabela de classes e frequências):
Observações importantes (informações úteis, sem começar a resolver): a distribuição está agrupada em classes de salário (em unidades de salários mínimos), com as respectivas frequências absolutas. Vamos usar essas informações passo a passo para achar a mediana.
Passo 2
O que é a mediana em dados agrupados e fórmula que vamos usar:
A mediana é o valor que deixa metade dos observações abaixo e metade acima. Em distribuição agrupada usamos interpolação linear dentro da classe mediana. A fórmula padrão (interpolação) é:
A mediana é o valor que deixa metade dos observações abaixo e metade acima. Em distribuição agrupada usamos interpolação linear dentro da classe mediana. A fórmula padrão (interpolação) é:
onde:
é a mediana (o que queremos encontrar),
é o limite inferior da classe mediana (limite inferior da classe que contém a mediana),
é o total de observações (soma das frequências),
é a soma das frequências das classes anteriores à classe mediana (frequência acumulada antes da classe mediana),
é a frequência da classe mediana,
é a amplitude (largura) da classe mediana (diferença entre limite superior e limite inferior dessa classe).
Explicando didaticamente: primeiro achamos
, depois calculamos
. A classe onde a frequência acumulada ultrapassa
é a classe mediana. Dentro dessa classe assumimos que os valores estão uniformemente distribuídos e interpolamos linearmente para achar o ponto que deixa metade dos indivíduos abaixo.
Passo 3
Calculando o total
e as frequências acumuladas até cada classe (vou somar passo a passo):
Logo, o total é
Passo 4
Calcular
e identificar a classe mediana:
Agora vemos em qual classe a frequência acumulada ultrapassa
. Pela tabela de acumuladas do passo anterior, a acumulada antes da classe
é
e ao final dessa classe chega a
. Portanto a classe que contém a mediana é
. Para essa classe temos:
(limite inferior da classe),
(frequência acumulada das classes anteriores),
(frequência da classe mediana),
(amplitude da classe mediana)
.
Observação: embora a última classe tenha amplitude diferente (
tem
), isso não nos atrapalha porque usamos a amplitude da própria classe mediana (
).
Passo 5
Aplicar a fórmula da mediana com os valores encontrados:
Substituindo:
Calcule passo a passo:
Portanto
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais, obtemos
salários mínimos.