Com o objetivo de proporcionar dados para basear os estudos referentes a reajustes de salários de seus funcionários operacionais, promoções, remanejamento, reenquadramento, manutenção do programa de cargos e salários, uma empresa do ramo de construção civil solicitou uma pesquisa de seu perfil salarial ao departamento de pessoal. A tabela a seguir dá a distribuição salarial dos funcionários dessa empresa. Qual o salário mediano desta empresa?
Salários Minimos
(S.M.)
Número de funcionários
da empresa \left(\mathrm{f}_{\mathrm{i}}\right)
1 \vdash 3 12
3 \vdash 5 27
5 \vdash 7 34
7 \vdash 9 29
9 \vdash 11 19
11 \vdash 13 16
13 \vdash 15 13
15 \vdash 16 7

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar o salário mediano da empresa (ou seja, o valor que divide ao meio a distribuição dos funcionários).
Informações fornecidas (tabela de classes e frequências):
Classe \quad Frequência \,f_i
\,1\vdash3 \quad \,12
\,3\vdash5 \quad \,27
\,5\vdash7 \quad \,34
\,7\vdash9 \quad \,29
\,9\vdash11 \quad \,19
\,11\vdash13 \quad \,16
\,13\vdash15 \quad \,13
\,15\vdash16 \quad \,7
Observações importantes (informações úteis, sem começar a resolver): a distribuição está agrupada em classes de salário (em unidades de salários mínimos), com as respectivas frequências absolutas. Vamos usar essas informações passo a passo para achar a mediana.

Passo 2

O que é a mediana em dados agrupados e fórmula que vamos usar:
A mediana é o valor que deixa metade dos observações abaixo e metade acima. Em distribuição agrupada usamos interpolação linear dentro da classe mediana. A fórmula padrão (interpolação) é:
M_e = L + \frac{\frac{N}{2}-F}{f_m}\,h
onde:
M_e é a mediana (o que queremos encontrar),
L é o limite inferior da classe mediana (limite inferior da classe que contém a mediana),
N é o total de observações (soma das frequências),
F é a soma das frequências das classes anteriores à classe mediana (frequência acumulada antes da classe mediana),
f_m é a frequência da classe mediana,
h é a amplitude (largura) da classe mediana (diferença entre limite superior e limite inferior dessa classe).
Explicando didaticamente: primeiro achamos N, depois calculamos \frac{N}{2}. A classe onde a frequência acumulada ultrapassa \frac{N}{2} é a classe mediana. Dentro dessa classe assumimos que os valores estão uniformemente distribuídos e interpolamos linearmente para achar o ponto que deixa metade dos indivíduos abaixo.

Passo 3

Calculando o total N e as frequências acumuladas até cada classe (vou somar passo a passo):
\begin{aligned} &\text{Classe }1\vdash3:\; f_1=12 \quad\Rightarrow\quad \text{acumulada}=12,\\\ &\text{Classe }3\vdash5:\; f_2=27 \quad\Rightarrow\quad \text{acumulada}=12+27=39,\\\ &\text{Classe }5\vdash7:\; f_3=34 \quad\Rightarrow\quad \text{acumulada}=39+34=73,\\\ &\text{Classe }7\vdash9:\; f_4=29 \quad\Rightarrow\quad \text{acumulada}=73+29=102,\\\ &\text{Classe }9\vdash11:\; f_5=19 \quad\Rightarrow\quad \text{acumulada}=102+19=121,\\\ &\text{Classe }11\vdash13:\; f_6=16 \quad\Rightarrow\quad \text{acumulada}=121+16=137,\\\ &\text{Classe }13\vdash15:\; f_7=13 \quad\Rightarrow\quad \text{acumulada}=137+13=150,\\\ &\text{Classe }15\vdash16:\; f_8=7 \quad\Rightarrow\quad \text{acumulada}=150+7=157. \end{aligned}
Logo, o total é
N=157.

Passo 4

Calcular \frac{N}{2} e identificar a classe mediana:
\frac{N}{2}=\frac{157}{2}=78,5.
Agora vemos em qual classe a frequência acumulada ultrapassa 78,5. Pela tabela de acumuladas do passo anterior, a acumulada antes da classe \,7\vdash9 é 73 e ao final dessa classe chega a 102. Portanto a classe que contém a mediana é \,7\vdash9. Para essa classe temos:
L=7 (limite inferior da classe),
F=73 (frequência acumulada das classes anteriores),
f_m=29 (frequência da classe mediana),
h (amplitude da classe mediana) =9-7=2.
Observação: embora a última classe tenha amplitude diferente ( 15\vdash16 tem h=1), isso não nos atrapalha porque usamos a amplitude da própria classe mediana ( h=2).

Passo 5

Aplicar a fórmula da mediana com os valores encontrados:
M_e = L + \frac{\frac{N}{2}-F}{f_m}\,h.
Substituindo:
M_e = 7 + \frac{78,5-73}{29}\cdot 2.
Calcule passo a passo:
78,5-73=5,5,
\frac{5,5}{29}=\frac{11}{58}\approx 0,189655\ldots,
\frac{5,5}{29}\cdot 2=\frac{11}{29}\approx 0,379310\ldots
Portanto
M_e = 7 + 0,379310\ldots \approx 7,379310\ldots
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais, obtemos M_e\approx 7,38 salários mínimos.

Resposta

7,38 salários mínimos.

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