Um objeto de 7,50 kg que repousa em uma superfície horizontal sem atrito está preso a uma mola com k=1500 N/m. O objeto é deslocado horizontalmente 30,0 cm a partir da posição de equilíbrio e recebe uma velocidade inicial de 20,0 m/s na direção da posição de equilíbrio. Determine
a frequência do movimento

Passo 1

O enunciado pede para determinar a frequência do movimento. Informações fornecidas:
m=7,50\\ \text{kg}
k=1500\\ \text{N/m}
\text{deslocamento inicial } x_0=30,0\\ \text{cm}=0,300\\ \text{m}
\text{velocidade inicial } v_0=20,0\\ \text{m/s}
A pergunta é apenas: determinar a frequência do movimento do sistema massa-mola.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas): para um sistema massa-mola sem atrito, a equação do movimento é
m\ddot{x}+kx=0,
onde \ddot{x} é a aceleração (segunda derivada do deslocamento em relação ao tempo). Essa é a equação do oscilador harmônico simples. A solução é uma oscilação senoidal com frequência angular \omega dada por
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Explicando as grandezas: \omega tem unidade de rad/s e mede quantos radianos a fase da oscilação avança por segundo. A frequência usual (ciclos por segundo, medida em hertz) é
f=\frac{\omega}{2\pi}.
Importante: para um oscilador harmônico linear sem atrito a frequência depende apenas de k e m — não depende da amplitude x_0 nem da velocidade inicial v_0. Então os valores de 0,300\\ \text{m} e 20,0\\ \text{m/s} não alteram a frequência.

Passo 3

Calcular a frequência angular \omega. Substituindo os valores:
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{1500}{7,50}}.
Calcule a razão:
\frac{1500}{7,50}=200,
portanto
\omega=\sqrt{200}=10\sqrt{2}\approx14{,}142\\ \text{rad/s}.

Passo 4

Converter \omega em frequência f:
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{10\sqrt{2}}{2\pi}=\frac{5\sqrt{2}}{\pi}.
Agora o valor numérico:
f\approx\frac{14{,}142}{2\pi}\approx2{,}25\\ \text{Hz}.

Passo 5

Interpretação rápida e dica para prova: você pode memorizar que para mola+massa sem atrito a frequência é f=(1/2\pi)\sqrt{k/m}. Faça primeiro \sqrt{k/m} (aqui \sqrt{200}) e depois divida por 2\pi. Isso é rápido de fazer de cabeça para valores redondos como este. Lembre-se: amplitude e velocidade inicial não mudam f.

Resposta

f=2{,}25\\ \text{Hz}

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