Um objeto de decoração tem a forma de uma esfera inscrita em um cubo. Se a área de uma face do cubo é 196 cm^2, determine a área da superfície esférica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um objeto que é uma esfera dentro de um cubo. A gente precisa calcular a área da superfície dessa esfera, sabendo que a área de uma das faces do cubo é 196 cm^2. Para isso, vamos usar conceitos de geometria relacionados a cubos e esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o tamanho da aresta do cubo. A área de uma face do cubo é dada por lado ao quadrado. Então, temos:
área da face = L^2 = 196 cm^2 á
Para achar o lado L, tiramos a raiz quadrada:
L = raiz196 = 14 cm

Passo 3

Como a esfera está inscrita no cubo, o diâmetro da esfera é igual à aresta do cubo. Então:
diâmetro da esfera = L = 14 cm â
O raio r da esfera é metade do diâmetro:
r = 142 = 7 cm

Passo 4

Agora, vamos calcular a área da superfície da esfera. A fórmula para a área da superfície de uma esfera é:
Área da esfera = 4pi r^2 Á
Substituindo o valor do raio:
Área da esfera = 4pi (7)^2 = 4pi times 49 = 196pi cm^2 Á

Resposta

A área da superfície esférica é 196pi cm^2.

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