Que objeto geométrico no espaço é representado pela equação x^2+y^2+z^2+4 x-8 y+6 z=0?

Passo 1

O enunciado pede para identificar o objeto geométrico descrito pela equação
x^2+y^2+z^2+4x-8y+6z=0
O conteúdo utilizado será o método de completar quadrados para reconhecer a forma padrão de uma esfera.

Passo 2

Agrupamos os termos de cada variável e completamos o quadrado. Para x:
x^2+4x = (x+2)^2-4
Para y:
y^2-8y = (y-4)^2-16
Para z:
z^2+6z = (z+3)^2-9

Passo 3

Substituímos esses resultados na equação original:
(x+2)^2-4 ;+;(y-4)^2-16;+;(z+3)^2-9 = 0
Somando as constantes -4-16-9=-29, obtemos
(x+2)^2+(y-4)^2+(z+3)^2-29 = 0

Passo 4

Isolando os quadrados, temos a forma padrão de uma esfera:
(x+2)^2+(y-4)^2+(z+3)^2 = 29
Isso mostra que o objeto é uma esfera com centro em (-2,4,-3) e raio raiz29.

Resposta

Esfera de centro (-2,4,-3) e raio raiz29.

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