Verifique se as sequências a seguir são convergentes e, em caso afirmativo, determine o seu limite. (Dica: Use técnicas algébricas, como divisão pelo termo de maior grau ou fator dominante.)
an=raizn^2+n-raizn^2-1

Passo 1

O enunciado pede para estudar a sequência
an = raizn^2+n ;-;raizn^2-1
e decidir se ela converge. O conteúdo envolve limites de sequências e uso de técnicas algébricas (racionalização ou divisão pelo termo de maior ordem) para simplificar a expressão.

Passo 2

Para simplificar an, multiplicamos e dividimos pela conjugada:
raizn^2+n-raizn^2-1 =l(raizn^2+n-raizn^2-1r)l(raizn^2+n+raizn^2-1r)raizn^2+n+raizn^2-1

Passo 3

No numerador temos diferença de quadrados:
(n^2+n)-(n^2-1)=n+1
Logo
an =n+1raizn^2+n+raizn^2-1

Passo 4

Para ver o comportamento quando ntoinfty, dividimos numerador e denominador por n:
an =nl(1+tfrac1nr)nl(raiz1+tfrac1n+raiz1-tfrac1n^2r) =1+tfrac1nraiz1+tfrac1n+raiz1-tfrac1n^2

Passo 5

Agora tomamos o limite termo a termo ao fazer ntoinfty:
limntoinftyl(1+tfrac1nr)=1, limntoinftyraiz1+tfrac1n=1, limntoinftyraiz1-tfrac1n^2=1
Portanto
limntoinftyan =11+1 =tfrac12

Resposta

A sequência ,an=raizn^2+n-raizn^2-1 converge e seu limite é tfrac12.

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