Verifique se as sequências a seguir são convergentes e, em caso afirmativo, determine o seu limite. (Dica: Use técnicas algébricas, como divisão pelo termo de maior grau ou fator dominante.)
an=nln (n+1)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
an = nln(n+1)
ou seja, determinar se existe
limntoinftyan
e, em caso afirmativo, qual é esse limite. Vamos usar técnicas de comparação assintótica e limite de função contínua para sequência.

Passo 2

Estudamos primeiro o comportamento de
ln(n+1)n.
Considere a função contínua
f(x) = ln(x+1)x, x>0
Aplicando L’Hôpital para xtoinfty:
limxtoinftyf(x) = limxtoinftyddxl[ln(x+1)r]ddx[x] = limxtoinfty1/(x+1)1 = 0
Logo
limntoinftyln(n+1)n = 0

Passo 3

Se
ln(n+1)nto 0,
então seu inverso satisfaz
nln(n+1) = gl(ln(n+1)ngr)^-1 ;longrightarrow; +infty
Isso mostra que an não converge para um número finito, mas cresce sem limite.

Resposta

A sequência diverge para +infty; não é convergente para valor finito.

Exercícios relacionados