Verifique se as sequências a seguir são convergentes e, em caso afirmativo, determine o seu limite. (Dica: Use o Teorema do Confronto, racionalizações e limites fundamentais.)
an=n-raizn^2-4 n

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
an=n-raizn^2-4n
e pede para verificar se ela converge e, em caso afirmativo, achar o seu limite. O conteúdo é limite de sequência, e vamos usar racionalização para obter uma forma que facilite o cálculo do limite, além de aplicar limites fundamentais e continuidade de funções elementares.

Passo 2

Aplicamos racionalização ao termo n-raizn^2-4n, ou seja, multiplicamos e dividimos pela conjugada n+raizn^2-4n:
an = l(n-raizn^2-4nr)cdotn+raizn^2-4nn+raizn^2-4n = n^2 - l(n^2-4nr),n+raizn^2-4n, = 4n,n+raizn^2-4n,

Passo 3

No numerador e no denominador podemos fatorar n:
an = 4n,nl(1+raiz1 - tfrac4nr), = 4,1+raiz1 - tfrac4n,

Passo 4

Para ntoinfty temos
limntoinftyraiz1-tfrac4n =raiz1-0=1,
e, pela continuidade da função xmapsto 1+raizx e da função recíproca,
limntoinftyan =limntoinfty41+raiz1 - tfrac4n =41+1=2
Logo, a sequência converge.

Resposta

A sequência an converge e
limntoinftyan=2

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