Um objeto com massa de 10 g realiza um movimento harmônico simples, com amplitude igual a 24 cm e período 4 s. Se o deslocamento em t
s é 24 cm, calcular: o tempo necessário para que o objeto se desloque da posição inicial
até o ponto de elongação
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um objeto de 10 g que tá fazendo um movimento harmônico simples (MHS), que é tipo um vai e vem, como um pêndulo ou uma mola oscilando. A amplitude desse movimento é de 24 cm, o que significa que o objeto oscila 24 cm para cada lado da posição de equilíbrio. O período é de 4 segundos, ou seja, leva 4 segundos para completar uma oscilação completa. No início, em t = 0 s, o objeto está na posição máxima positiva, x = 24 cm. A pergunta é: quanto tempo ele leva para ir dessa posição inicial até x = -12 cm?
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula que descreve o movimento harmônico simples. A posição do objeto em função do tempo pode ser dada por:
Onde:
- $ A $ é a amplitude (24 cm),
- $ \omega $ é a frequência angular,
- $ \phi $ é a fase inicial.
Como o objeto começa na amplitude máxima positiva ($ x = 24 $ cm) em $ t = 0 $, a fase inicial $ \phi $ é zero. Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar $ \omega $, a frequência angular. Sabemos que o período $ T $ é 4 segundos, e a relação entre $ \omega $ e $ T $ é:
Substituindo $ T = 4 $ s:
Passo 4
Com $ \omega $ encontrada, nossa equação fica:
Queremos saber o tempo $ t $ quando $ x(t) = -12 $ cm. Vamos substituir na equação:
Passo 5
Vamos resolver essa equação para encontrar $ t $. Primeiro, isolamos o cosseno:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar o ângulo cujo cosseno é -0.5. Sabemos que:
Então, a solução para
é $ \frac{2\pi}{3} $ radianos.
Passo 7
Vamos resolver para $ t $:
Resposta
O tempo necessário para que o objeto se desloque de $ x = 24 $ cm para $ x = -12 $ cm é de $ \frac{4}{3} $ segundos.