Um objeto com massa de 10 g realiza um movimento harmônico simples, com amplitude igual a 24 cm e período 4 s. Se o deslocamento em t =0 s é 24 cm, calcular: o tempo necessário para que o objeto se desloque da posição inicial x=24 cm até o ponto de elongação x=-12 cm.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um objeto de 10 g que tá fazendo um movimento harmônico simples (MHS), que é tipo um vai e vem, como um pêndulo ou uma mola oscilando. A amplitude desse movimento é de 24 cm, o que significa que o objeto oscila 24 cm para cada lado da posição de equilíbrio. O período é de 4 segundos, ou seja, leva 4 segundos para completar uma oscilação completa. No início, em t = 0 s, o objeto está na posição máxima positiva, x = 24 cm. A pergunta é: quanto tempo ele leva para ir dessa posição inicial até x = -12 cm?

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula que descreve o movimento harmônico simples. A posição do objeto em função do tempo pode ser dada por:
x(t) = A cos(omega t + phi)
Onde:
  • $ A $ é a amplitude (24 cm),
  • $ \omega $ é a frequência angular,
  • $ \phi $ é a fase inicial.
Como o objeto começa na amplitude máxima positiva ($ x = 24 $ cm) em $ t = 0 $, a fase inicial $ \phi $ é zero. Então, a equação fica:
A

Passo 3

Agora, precisamos encontrar $ \omega $, a frequência angular. Sabemos que o período $ T $ é 4 segundos, e a relação entre $ \omega $ e $ T $ é:
omega
Substituindo $ T = 4 $ s:
T

Passo 4

Com $ \omega $ encontrada, nossa equação fica:
omega
Queremos saber o tempo $ t $ quando $ x(t) = -12 $ cm. Vamos substituir na equação:
x(t) = 24 cos(pi2 t)

Passo 5

Vamos resolver essa equação para encontrar $ t $. Primeiro, isolamos o cosseno:
t
cos(pi2 t) = -1224

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o ângulo cujo cosseno é -0.5. Sabemos que:
cos(pi3) = 0.5
cos(2pi3) = -0.5
Então, a solução para pi2 t é $ \frac{2\pi}{3} $ radianos.

Passo 7

Vamos resolver para $ t $:
t
pi2 t = 2pi3
t = 2pi3 times 2pi

Resposta

O tempo necessário para que o objeto se desloque de $ x = 24 $ cm para $ x = -12 $ cm é de $ \frac{4}{3} $ segundos.

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