Um objeto com massa de 8 kg recebe uma velocidade inicial para cima de 20 m / s e depois é deixado cair sob a influência da gravidade. Suponha que a força em newtons devido à resistência do ar seja -16 v , onde v é a velocidade do objeto em m / s. Determine a equação do movimento do objeto. Se o objeto estiver inicialmente 100 m acima do solo, determine quando o objeto atingirá o solo. [Considere a força da gravidade como g=9,81 m / s^2 ou g=32 pés / s^2é ]

Passo 1

O enunciado dá um objeto de massa m=8 kg lançado para cima com velocidade inicial v(0)=20 m/s a partir de altura inicial y(0)=100 m. Ele está sujeito ao peso -mg (com g=9,81 m/ s^2) e à resistência do ar -16,v.
O conteúdo necessário é a solução de uma EDO linear de 1ª ordem para v(t) e depois a integração para obter y(t). Em seguida, vamos achar o instante T em que y(T)=0.

Passo 2

Escrevemos a 2ª lei de Newton com v positivo para cima:
mdvdt=-mg-16,v
Dividindo por m=8 e usando g=9,81, obtemos
dvdt+2,v=-9,81
Esta é uma EDO linear de coeficiente constante. O fator integrante é e^2t, e a solução geral é
v(t)=C,e^-2t-9,812=C,e^-2t-4,905
Impondo v(0)=20
C-4,905=20Longrightarrow C=24,905,
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v(t)=24,905,e^-2t-4,905

Passo 3

Para achar y(t), integramos v(t):
y(t)=integral v(t),dt =integrall(24,905,e^-2t-4,905r),dt =-12,4525,e^-2t-4,905,t+K

Passo 4

Usando y(0)=100 em
y(0)=-12,4525cdot1-4,905cdot0+K=100
resulta K=112,4525. Então
y(t)=112,4525-12,4525,e^-2t-4,905,t

Passo 5

O objeto atinge o solo quando y(T)=0, ou seja,
112,4525-12,4525,e^-2T-4,905,T=0
Esta equação não tem solução elementar, mas numericamente obtém-se
Tapprox22,93 s

Resposta

Equação da velocidade:
v(t)=24,905,e^-2t-4,905 m/s,
Equação da posição:
y(t)=112,4525-12,4525,e^-2t-4,905,t m,
Tempo de queda:
Tapprox22,93 s

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