Um objeto de massa m está suspenso por um fio leve que foi enrolado em torno de uma polia que tem momento de inércia I e raio R. O suporte da polia não tem atrito e o fio não escorrega na polia. A polia é largada do repouso e passa a girar, enquanto o objeto cai e o fio vai desenrolando. Determine a tensão no fio e a aceleração do objeto.

Passo 1

O enunciado dá um objeto de massa m suspenso por um fio leve enrolado em uma polia de raio R e momento de inércia I. Não há atrito no eixo nem deslizamento do fio. Soltando do repouso, queremos achar a tensão T no fio e a aceleração a do objeto. Para isso, vamos usar as leis de Newton na translação e na rotação, mais a condição de não deslizamento.

Passo 2

Escrevendo a segunda lei de Newton para o objeto (sentido positivo para baixo):
m g - T = m a.

Passo 3

Escrevendo a equação de torques na polia (o único torque é da tensão):
T\,R = I\,\alpha.

Passo 4

Como o fio não desliza, a aceleração linear a do objeto e a aceleração angular \alpha da polia se relacionam por
a = R\,\alpha.
Substituindo \alpha = a/R em T\,R = I\,\alpha obtemos
T = \frac{I}{R^2}\,a.

Passo 5

Voltar à equação de Newton do objeto e substituir T:
m g - \frac{I}{R^2}\,a = m a \quad\Longrightarrow\quad m g = \Bigl(m + \frac{I}{R^2}\Bigr)a \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{m g}{m + \displaystyle\frac{I}{R^2}}.
Multiplicando numerador e denominador por R^2, dá também
a = \frac{m g\,R^2}{m\,R^2 + I}.

Passo 6

Para achar T, usamos T = \frac{I}{R^2}\,a:
T = \frac{I}{R^2}\,\frac{m g}{m + I/R^2} = \frac{I\,m\,g}{m\,R^2 + I}.

Resposta

A aceleração do objeto é
a = \frac{m g}{m + \displaystyle\frac{I}{R^2}} = \frac{m g\,R^2}{m\,R^2 + I},
e a tensão no fio vale
T = \frac{I\,m\,g}{m\,R^2 + I}.

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