Um objeto de massa
está movendo-se horizontalmente, sujeito unicamente à força de resistência, proporcional a sua velocidade, oferecida por um fluido com o qual mantém contato:
Detalhes
Dividindo por
podemos reescrever:
Suponha que
e
e que no instante
o objeto estivesse na posição
com velocidade
.
Resolva a equação diferencial para determinar a equação horária da velocidade.
Dividindo por
Resolva a equação diferencial para determinar a equação horária da velocidade.
Passo 1
Vamos dar uma resumida no que o exercício está pedindo. Temos um objeto com massa
que está se movendo horizontalmente e sofre apenas uma força de resistência proporcional à sua velocidade, representada pela equação
. Precisamos resolver a equação diferencial
para encontrar a função da velocidade
em função do tempo, sabendo que no instante
o objeto está na posição
com velocidade
. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos. A massa
é igual a
e o coeficiente de resistência
é igual a
.
Passo 3
A equação diferencial que temos é:
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem e pode ser resolvida separando as variáveis
e
.
Passo 4
Vamos separar as variáveis
e
. Primeiro, reescrevemos a equação:
Agora, dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
para isolar as variáveis:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação:
A integral de
em relação a
é
e a integral de
em relação a
é
, então temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para resolver para
, vamos aplicar a função exponencial em ambos os lados:
Podemos simplificar
como uma nova constante
, então:
Passo 7
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar
. Substituindo
na equação:
Passo 8
Finalmente, substituímos
na equação da velocidade:
Substituindo os valores de
e
:
Resposta
A equação horária da velocidade é: