Um objeto de massa m está movendo-se horizontalmente, sujeito unicamente à força de resistência, proporcional a sua velocidade, oferecida por um fluido com o qual mantém contato:
F=m a=-k v
Detalhes
Dividindo por m podemos reescrever:
v^prime=-km v
Suponha que m=30 g e k=10.8 g / s e que no instante t=0 s o objeto estivesse na posição s(0)=0 m com velocidade v(0)=90 m / s.
Resolva a equação diferencial para determinar a equação horária da velocidade.
v(t) = (função de t) m / s çã

Passo 1

Vamos dar uma resumida no que o exercício está pedindo. Temos um objeto com massa m = 30 g que está se movendo horizontalmente e sofre apenas uma força de resistência proporcional à sua velocidade, representada pela equação F = m a = -k v. Precisamos resolver a equação diferencial
v^prime = -km v
para encontrar a função da velocidade v(t) em função do tempo, sabendo que no instante t=0 s o objeto está na posição s(0)=0 m com velocidade v(0)=90 m/s. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos. A massa m = 30 g é igual a 0,03 kg e o coeficiente de resistência k = 10,8 g/s é igual a 0,0108 kg/s.

Passo 3

A equação diferencial que temos é:
v^prime = -km v
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem e pode ser resolvida separando as variáveis v e t.

Passo 4

Vamos separar as variáveis v e t. Primeiro, reescrevemos a equação:
dvdt = -km v
Agora, dividimos ambos os lados por v e multiplicamos por dt para isolar as variáveis:
dvv = -km dt

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação:
integral 1v dv = -km integral dt
A integral de 1v em relação a v é ln|v| e a integral de 1 em relação a t é t, então temos:
ln|v| = -km t + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Para resolver para v, vamos aplicar a função exponencial em ambos os lados:
v = e^-km t + C = e^C cdot e^-km t
Podemos simplificar e^C como uma nova constante C, então:
v(t) = C e^-km t

Passo 7

Agora, usamos a condição inicial v(0) = 90 m/s para encontrar C. Substituindo t = 0 na equação:
90 = C e^0 implies C = 90

Passo 8

Finalmente, substituímos C na equação da velocidade:
v(t) = 90 e^-km t
Substituindo os valores de k e m:
v(t) = 90 e^-0,01080,03 t = 90 e^-0,36 t

Resposta

A equação horária da velocidade é:
v(t) = 90 e^-0,36, t m/s

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