Um objeto de massa m está movendo-se horizontalmente, sujeito unicamente à força de resistência, proporcional a sua velocidade, oferecida por um fluido com o qual mantém contato:
F=m a=-k v
Detalhes
Dividindo por m podemos reescrever:
v^prime=-km v
Suponha que m=30 g e k=10.8 g / s e que no instante t=0 s o objeto estivesse na posição s(0)=0 m com velocidade v(0)=90 m / s.
Determine a equação horária da posição.
s(t) = (função de t) m çã

Passo 1

O exercício descreve um objeto de massa m se movendo num fluido que exerce uma força de resistência proporcional à velocidade, de modo que temos a equação diferencial de 1.ª ordem v'(t) = -kmv(t). O conteúdo é equação diferencial separável e integração para obter a posição s(t). Vamos usar a condição inicial v(0)=90,m/s e s(0)=0.

Passo 2

Reconhecendo que v'(t) = dvdt = -kmv(t) é uma equação diferencial separável, separamos variáveis e integramos:
dvv = -km,dt
Fazendo a integral, obtemos
ln|v| = -kmt + C1
e, exponenciando,
v(t) = C,e^-kmt
Aplicando v(0)=90, vemos que C=90, logo v(t)=90,e^-kmt

Passo 3

Para chegar em s(t), lembramos que v(t)=s'(t). Integrando s'(t)=90,e^-kmt em relação a t:
s(t) = integral 90,e^-kmt,dt = 90 cdot l(-mkr)e^-kmt + C2
Assim,
s(t) = -90mke^-kmt + C2
Usando s(0)=0
0 = -90mk + C2 implies C2 = 90mk

Passo 4

Substituindo m=30,g e k=10.8,g/s temos km=0.36,s^-1 e 90mk=90cdot3010.8=250. Portanto a posição é
s(t)=250l(1 - e^-0.36,tr),m

Resposta

s(t)=250l(1 - e^-0.36,tr),m

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