Um objeto de massa
está movendo-se horizontalmente, sujeito unicamente à força de resistência, proporcional a sua velocidade, oferecida por um fluido com o qual mantém contato:
Detalhes
Dividindo por
podemos reescrever:
Suponha que
e
e que no instante
o objeto estivesse na posição
com velocidade
.
Determine a equação horária da posição.
Dividindo por
Determine a equação horária da posição.
Passo 1
O exercício descreve um objeto de massa
se movendo num fluido que exerce uma força de resistência proporcional à velocidade, de modo que temos a equação diferencial de 1.ª ordem
. O conteúdo é equação diferencial separável e integração para obter a posição
. Vamos usar a condição inicial
e
.
Passo 2
Reconhecendo que
é uma equação diferencial separável, separamos variáveis e integramos:
Fazendo a integral, obtemos
e, exponenciando,
Aplicando
, vemos que
, logo
Passo 3
Para chegar em
, lembramos que
. Integrando
em relação a
:
Assim,
Usando
dá
Passo 4
Substituindo
e
temos
e
. Portanto a posição é