Um objeto metálico é aquecido a 100^{\circ} \mathrm{C} e, em seguida, é colocado em um ambiente onde a temperatura é mantida constante em 25^{\circ} \mathrm{C}. Suponha que a taxa de resfriamento do objeto seja proporcional à diferença de temperatura entre o objeto e o ambiente. Determine a constante de proporcionalidade k se a temperatura do objeto é 60^{\circ} \mathrm{C} após 5 minutos.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com calma para não perder nada):
  • Temperatura inicial do objeto: T(0)=100^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do ambiente (constante): T_a=25^\circ\mathrm{C}.
  • Após 5 minutos, a temperatura do objeto é T(5)=60^\circ\mathrm{C}.
    O que é pedido:
  • Determinar a constante de proporcionalidade k da lei que diz que a taxa de resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a do ambiente.

Passo 2

Modelo (equação diferencial) e significado das quantidades.
A hipótese “taxa de resfriamento proporcional à diferença de temperatura” dá a equação diferencial
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T(t)-T_a\bigr).
Explicando cada símbolo:
  • T(t) é a temperatura do objeto no instante t (em minutos).
  • T_a é a temperatura do ambiente ( 25^\circ\mathrm{C}).
  • k>0 é a constante de proporcionalidade que queremos encontrar; sua unidade é \text{min}^{-1} porque o tempo está em minutos.
    O sinal negativo aparece porque, quando T>T_a, a temperatura do objeto diminui ( dT/dt<0).

Passo 3

Resolver a equação diferencial passo a passo (separação de variáveis).
Partimos de
\frac{dT}{dt} = -k(T-T_a).
Separamos as variáveis levando todos os termos em T para um lado e os termos em t para o outro:
\frac{dT}{T-T_a} = -k\,dt.
Agora integraremos ambos os lados. Integramos de t=0 até t e de T(0)=T_0 até T(t), onde T_0=100^\circ\mathrm{C}:
\int_{T_0}^{T(t)} \frac{dT'}{T'-T_a} \;=\; \int_{0}^{t} -k\,dt'.
A integral do lado esquerdo é um logaritmo natural; fazendo as integrais:
\ln\bigl|T(t)-T_a\bigr| - \ln\bigl|T_0-T_a\bigr| = -k t.
Exponenciando e simplificando obtemos a solução conhecida da lei de resfriamento de Newton:
T(t)=T_a + \bigl(T_0-T_a\bigr)e^{-k t}.
Aqui T_0=100^\circ\mathrm{C} e T_a=25^\circ\mathrm{C}, então explicitamente
T(t)=25 + 75\,e^{-k t}.

Passo 4

Usar a condição dada em t=5 minutos para achar k.
Pelo enunciado, T(5)=60^\circ\mathrm{C}. Substituindo na fórmula:
60 = 25 + 75\,e^{-5k}.
Isolando o termo exponencial:
60-25 = 75\,e^{-5k}\quad\Rightarrow\quad 35 = 75\,e^{-5k}.
Portanto
e^{-5k}=\frac{35}{75}=\frac{7}{15}.
Aplicando o logaritmo natural:
-5k = \ln\!\left(\frac{7}{15}\right)\quad\Rightarrow\quad k = -\frac{1}{5}\ln\!\left(\frac{7}{15}\right).
É equivalente escrever
k = \frac{1}{5}\ln\!\left(\frac{15}{7}\right),
que é a forma exata em termos de logaritmo.

Passo 5

Avaliação numérica e interpretação.
Calculemos numericamen-te \ln(15/7). Tem-se aproximadamente \ln\!\left(\dfrac{15}{7}\right)\approx 0{,}762140\ldots. Dividindo por 5 obtém-se o valor numérico de k (unidade \text{min}^{-1}). Como verificação rápida, com esse k vale e^{-5k}=7/15, de modo que T(5)=25+75\cdot(7/15)=25+35=60^\circ\mathrm{C}, compatível com o enunciado.

Resposta

k \approx 0{,}1524\\ \text{min}^{-1}

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