Suponha que a população de uma cidade cresce a uma taxa proporcional ao seu tamanho atual. Em 2020, a população da cidade era de 50.000 habitantes. Em 2025, a população estimada era de 62.500 habitantes. Resolva a equação diferencial para encontrar a expressão da população P(t) em função do tempo t, onde t é o número de anos desde 2020.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • Informações fornecidas:
    • A população cresce a uma taxa proporcional ao seu tamanho atual (isto implica uma equação diferencial com constante de proporcionalidade desconhecida).
    • Em 2020 a população era 50{.}000 habitantes.
    • Em 2025 a população era 62{.}500 habitantes.
    • A variável t é o número de anos desde 2020 (ou seja, t=0 corresponde a 2020).
  • O que se pede:
    • Encontrar a expressão da população P(t) em função do tempo t.

Passo 2

Modelagem da taxa proporcional: escrever a equação diferencial que traduz “cresce a uma taxa proporcional ao seu tamanho atual”. Seja P(t) a população no tempo t e seja k a constante de proporcionalidade (taxa de crescimento por ano). A equação diferencial é
\frac{dP}{dt}=kP.
Aqui k é um número real que indica a fração de crescimento por ano (se k>0, cresce; se k<0, decresce).

Passo 3

Resolver a equação diferencial por separação de variáveis. Reescrevendo e separando termos em P e t:
\frac{dP}{P}=k\,dt.
Agora integramos ambos os lados. A integral de 1/P em relação a P é \ln|P| e a integral de k em relação a t é kt, então obtemos
\ln|P|=kt+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Isolar P exponenciando ambos os lados. Como a população é positiva, podemos eliminar o módulo:
P(t)=e^{kt+C}=e^{C}e^{kt}.
Definindo P_0=e^{C} como a constante positiva (interpretação: população inicial em t=0), a solução geral fica
P(t)=P_0\,e^{kt}.
Explicando: P_0 representa a população quando t=0, ou seja P(0)=P_0.

Passo 5

Usar a condição inicial P(0)=50{.}000 para determinar P_0. Substituindo t=0 em P(t)=P_0 e^{kt} obtemos
P(0)=P_0=50{.}000.
Portanto a solução particular é
P(t)=50{.}000\,e^{kt}.

Passo 6

Usar a condição adicional P(5)=62{.}500 (porque 2025 é 5 anos após 2020, logo t=5) para encontrar k. Substituindo:
62{.}500=50{.}000\,e^{5k}.
Dividindo ambos os lados por 50{.}000:
\frac{62{.}500}{50{.}000}=e^{5k}\quad\Rightarrow\quad 1{,}25=e^{5k}.
Tomando o logaritmo natural:
\ln(1{,}25)=5k\quad\Rightarrow\quad k=\frac{\ln(1{,}25)}{5}.
Calculemos uma aproximação numérica para ter uma ideia da taxa:
\ln(1{,}25)\approx 0{,}22314355\quad\Rightarrow\quad k\approx\frac{0{,}22314355}{5}\approx 0{,}0446287.
Ou seja, k\approx 0{,}04463\\ \text{ano}^{-1}, que corresponde a cerca de 4{,}463\% ao ano.

Passo 7

Escrever a expressão final da população em duas formas equivalentes (exponencial e potência). Substituindo k em P(t)=50{.}000\,e^{kt} obtemos
P(t)=50{.}000\,\exp\!\Bigl(\frac{\ln(1{,}25)}{5}\,t\Bigr).
Usando a identidade e^{(\ln a)\,x}=a^{x}, podemos também escrever
P(t)=50{.}000\,(1{,}25)^{t/5}.
Ambas são perfeitamente equivalentes; a segunda mostra diretamente que a cada 5 anos a população é multiplicada por 1{,}25.

Resposta

P(t)=50{.}000\,\exp\!\Bigl(\frac{\ln(1{,}25)}{5}\,t\Bigr)=50{.}000\,(1{,}25)^{t/5}.

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