Suponha que a população de uma cidade cresce a uma taxa proporcional ao seu tamanho atual. Em 2020, a população da cidade era de 50.000 habitantes. Em 2025, a população estimada era de 62.500 habitantes. Resolva a equação diferencial para encontrar a expressão da população
em função do tempo
, onde
é o número de anos desde 2020.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
-
Informações fornecidas:
- A população cresce a uma taxa proporcional ao seu tamanho atual (isto implica uma equação diferencial com constante de proporcionalidade desconhecida).
- Em 2020 a população era
habitantes. - Em 2025 a população era
habitantes. - A variável
é o número de anos desde 2020 (ou seja, corresponde a 2020).
-
O que se pede:
- Encontrar a expressão da população
em função do tempo .
- Encontrar a expressão da população
Passo 2
Modelagem da taxa proporcional: escrever a equação diferencial que traduz “cresce a uma taxa proporcional ao seu tamanho atual”. Seja
a população no tempo
e seja
a constante de proporcionalidade (taxa de crescimento por ano). A equação diferencial é
Aqui
é um número real que indica a fração de crescimento por ano (se
, cresce; se
, decresce).
Passo 3
Resolver a equação diferencial por separação de variáveis. Reescrevendo e separando termos em
e
:
Agora integramos ambos os lados. A integral de
em relação a
é
e a integral de
em relação a
é
, então obtemos
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Isolar
exponenciando ambos os lados. Como a população é positiva, podemos eliminar o módulo:
Definindo
como a constante positiva (interpretação: população inicial em
), a solução geral fica
Explicando:
representa a população quando
, ou seja
.
Passo 5
Usar a condição inicial
para determinar
. Substituindo
em
obtemos
Portanto a solução particular é
Passo 6
Usar a condição adicional
(porque 2025 é 5 anos após 2020, logo
) para encontrar
. Substituindo:
Dividindo ambos os lados por
:
Tomando o logaritmo natural:
Calculemos uma aproximação numérica para ter uma ideia da taxa:
Ou seja,
, que corresponde a cerca de
ao ano.
Passo 7
Escrever a expressão final da população em duas formas equivalentes (exponencial e potência). Substituindo
em
obtemos
Usando a identidade
, podemos também escrever
Ambas são perfeitamente equivalentes; a segunda mostra diretamente que a cada
anos a população é multiplicada por
.