Um paraquedista de massa m=80 kg salta de um helicóptero e cai verticalmente. A força de resistência do ar é dada por F ar =-k v^2, onde k=0.25 kg m^-1 e v é a velocidade instantânea. A equação diferencial do movimento é:
m d vd t=m g-k v^2
onde g=9.81 m / s^2. A velocidade terminal vt ocorre quando d vd t=0 :
vt=raizm gk=raiz80 times 9.810.25 approx 56.0 m s^-1
Determinar o tempo t necessário para o paraquedista alcançar 95 % da velocidade terminal (v(t)=0.95 vt approx 53.2 m s^-1) resolvendo numericamente a equação pelo método da bisseç̧ão:
f(t)=vt tanh (g tvt)-0.95 vt=0
  • Intervalo inicial: [a, b]=[5 s, 15 s]
  • Tolerância: epsilon=10^-3

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(t)=vt,tanh!gl(g,tvtgr)-0.95,vt,
com vt=56.0 m/s, g=9.81 m/s^2. Queremos achar t em [5,15] tal que f(t)=0, usando o método da bisseção com tolerância epsilon=10^-3.

Passo 2

Calculamos o sinal de f nas pontas do intervalo:
f(5)=56tanh(9.81cdot5/56)-0.95cdot56approx39.44-53.20=-13.76<0,
f(15)=56tanh(9.81cdot15/56)-0.95cdot56approx55.38-53.20=2.18>0.
Há, portanto, raiz em [5,15].

Passo 3

Aplicamos o método da bisseção, repetindo até que b-a<10^-3. Em cada iteração calculamos
m=a+b2, f(m),
e escolhemos o subintervalo onde os sinais de f em suas extremidades são opostos.

Passo 4

Iterações (resumido):
  1. a=5, b=15, m=10.000, f(m)approx-0.43Rightarrow a10.000
  2. a=10.000, b=15, m=12.500, f(m)approx1.40Rightarrow b12.500
  3. a=10.000, b=12.500, m=11.250, f(m)approx0.68Rightarrow b11.250
  4. a=10.000, b=11.250, m=10.625, f(m)approx0.18Rightarrow b10.625
  5. a=10.000, b=10.625, m=10.3125, f(m)approx-0.21Rightarrow a10.3125
  6. a=10.3125, b=10.625, m=10.4688, f(m)approx0.04Rightarrow b10.4688
  7. a=10.3125, b=10.4688, m=10.3906, f(m)approx-0.09Rightarrow a10.3906
  8. a=10.3906, b=10.4688, m=10.4297, f(m)approx-0.01Rightarrow a10.4297
  9. a=10.4297, b=10.4688, m=10.4492, f(m)approx-0.006Rightarrow a10.4492
  10. a=10.4492, b=10.4688, m=10.4590, f(m)approx0.002Rightarrow b10.4590
  11. a=10.4492, b=10.4590, m=10.4541, f(m)approx-0.003Rightarrow a10.4541
  12. a=10.4541, b=10.4590, m=10.4565, f(m)approx-0.001Rightarrow a10.4565
  13. a=10.4565, b=10.4590, m=10.4584, f(m)approx0.0005Rightarrow b10.4584
    Agora b-aapprox6.1times10^-4<10^-3, então paramos.

Resposta

O tempo necessário é aproximadamente tapprox10.458 s.

Exercícios relacionados