Questão 4: Encontre a solução geral (na forma implícita) da seguinte equação exata:
(2 x-y) d x+(2 y-x) d y=0
Questão 5: Encontre a solução geral da equação abaixo:

Passo 1

Estamos na Questão 4, que pede a solução geral (na forma implícita) da equação diferencial
(2x - y),dx + (2y - x),dy = 0
Este tipo de equação é do tipo exata, ou seja, queremos achar uma função potencial psi(x,y) tal que
partial psipartial x = 2x - y e partial psipartial y = 2y - x

Passo 2

Verificamos a exatidão conferindo se
partialpartial yl(2x - yr) ;=; -1 é igual a partialpartial xl(2y - xr) ;=; -1 é
Como ambas derivadas coincidem, a equação é exata.

Passo 3

Integramos partial psipartial x = 2x - y em relação a x, tratando y como constante:
psi(x,y) = integral (2x - y),dx = x^2 - x y + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 4

Para determinar h(y), usamos
partial psipartial y = -x + h'(y) = 2y - x
Fica então
-,x + h'(y) = 2y - x ;Longrightarrow; h'(y) = 2y ;Longrightarrow; h(y) = y^2 + C1

Passo 5

Substituindo h(y) em psi(x,y), obtemos a função potencial
psi(x,y) = x^2 - x y + y^2
A solução geral, na forma implícita, é
psi(x,y) = C Longrightarrow x^2 - x y + y^2 = C

Passo 6

Não é possível resolver a Questão 5 porque o enunciado não forneceu a equação diferencial a ser resolvida.

Resposta

Impossível determinar a solução geral pois a equação não foi informada.

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