Um objeto se move ao longo de uma curva C de parametrização r(t)=(-1+3 cos t) i+(2+2 sen t) j, t in[0,2 pi].
Determine a equação cartesiana de C.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
r(t)=(-1+3cos t),i+(2+2sin t),j, tin[0,2pi]
e pede a equação cartesiana de C. O conteúdo é eliminação de parâmetro usando a identidade trigonométrica sin^2t+cos^2t=1.

Passo 2

Chamando as coordenadas de x e y, temos
x(t)=-1+3cos t,
y(t)=2+2sin t

Passo 3

Isolamos cos t e sin t em função de x e y:
cos t=x+13,
sin t=y-22

Passo 4

Aplicamos a identidade sin^2t+cos^2t=1, substituindo as expressões acima:
l(x+13r)^2+l(y-22r)^2=1

Passo 5

Reescrevendo em forma padrão de elipse, obtemos
(x+1)^29+(y-2)^24=1

Resposta

(x+1)^29+(y-2)^24=1

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