Um partícula se move de uma posição inicial r(0)=(1,0,0) com velocidade inicial v(0)=(1,-1,0). Sabendo-se que sua aceleração é dada por a(t)=(t, cos (2 t), 1), determine sua velocidade e posição no instante t.

Passo 1

O enunciado dá a aceleração vetorial de uma partícula
a(t) = l(t,;cos(2t),;1r),
com condições iniciais de velocidade e posição
v(0) = (1,-1,0), r(0) = (1,0,0)
O conteúdo aqui é a integração vetor a vetor: primeiro integrar a(t) para achar v(t), depois integrar v(t) para achar r(t).

Passo 2

Integramos componente a componente de a(t) para obter uma forma geral de v(t) com constantes de integração:
v(t) = integral a(t),dt = l(tfract^22 + C1,;tfrac12sin(2t) + C2,;t + C3r)

Passo 3

Aplicamos v(0) = (1,-1,0):
para t=0 vem
l(0 + C1,;0 + C2,;0 + C3r) = (1,-1,0),
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C1 = 1, C2 = -1, C3 = 0
Assim
v(t) = l(tfract^22+1,;tfrac12sin(2t)-1,;tr)

Passo 4

Agora integramos v(t) para achar r(t), incluindo novas constantes Di:
r(t) = integral v(t),dt = l(tfract^36 + t + D1,; -tfrac14cos(2t) - t + D2,; tfract^22 + D3r)

Passo 5

Usamos r(0)=(1,0,0):
para t=0 vem
l(D1,;-,tfrac14 + D2,;D3r) = (1,0,0),
de onde
D1 = 1, -tfrac14 + D2 = 0implies D2=tfrac14, D3=0
Portanto
r(t) = l(tfract^36 + t + 1,; -tfrac14cos(2t) - t + tfrac14,; tfract^22r)

Resposta

v(t) = l(tfract^22+1,;tfrac12sin(2t)-1,;tr),
r(t) = l(tfract^36 + t + 1,; -tfrac14cos(2t);-;t;+;tfrac14,; tfract^22r)

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