Um objeto parte do repouso e tem aceleração dada por
, onde
e
. Qual é a velocidade do objeto após 5 s?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos diz que um objeto parte do repouso e sua aceleração ao longo do tempo é dada por $ a(t) = B t^{2} - \frac{1}{2} C t $, onde $ B = 2,0 , m/s^{4} $ e $ C = -4 , m/s^{3} $. A gente precisa descobrir qual é a velocidade do objeto após 5 segundos. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente integração da aceleração para encontrar a velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir os valores de $ B $ e $ C $ na expressão da aceleração:
Simplificando a equação:
Passo 3
Sabemos que a velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo. Como o objeto parte do repouso, a velocidade inicial $ v(0) $ é zero. Então, vamos integrar $ a(t) $ de 0 a 5 segundos:
Passo 4
Vamos calcular a integral term por term:
Então, a expressão da velocidade é:
Como a velocidade inicial é zero ($ v(0) = 0 $), a constante de integração $ C = 0 $. Assim:
Passo 5
Agora, vamos calcular a velocidade após 5 segundos substituindo $ t = 5 $ na expressão:
Calculando cada parte:
Então:
Convertendo 25 para ter o mesmo denominador:
Portanto:
Resposta
A velocidade do objeto após 5 segundos é aproximadamente $ 108,33 , m/s $.