Um objeto parte do repouso e tem aceleração dada por a(t)=B t^2-12 C t, onde B=2,0 m / s^4 e C=-4 m / s^3. Qual é a velocidade do objeto após 5 s?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos diz que um objeto parte do repouso e sua aceleração ao longo do tempo é dada por $ a(t) = B t^{2} - \frac{1}{2} C t $, onde $ B = 2,0 , m/s^{4} $ e $ C = -4 , m/s^{3} $. A gente precisa descobrir qual é a velocidade do objeto após 5 segundos. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente integração da aceleração para encontrar a velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir os valores de $ B $ e $ C $ na expressão da aceleração:
B
Simplificando a equação:
C

Passo 3

Sabemos que a velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo. Como o objeto parte do repouso, a velocidade inicial $ v(0) $ é zero. Então, vamos integrar $ a(t) $ de 0 a 5 segundos:
v(0)

Passo 4

Vamos calcular a integral term por term:
integral 2,0 , t^2 , dt = 2,0 times t^33 = 23 t^3
integral 2 , t , dt = 2 times t^22 = t^2
Então, a expressão da velocidade é:
v(t) = 23 t^3 + t^2 + C
Como a velocidade inicial é zero ($ v(0) = 0 $), a constante de integração $ C = 0 $. Assim:
v(0) = 0

Passo 5

Agora, vamos calcular a velocidade após 5 segundos substituindo $ t = 5 $ na expressão:
t = 5
Calculando cada parte:
v(5) = 23 times (5)^3 + (5)^2
Então:
(5)^3 = 125 e (5)^2 = 25
Convertendo 25 para ter o mesmo denominador:
v(5) = 23 times 125 + 25 = 2503 + 25
Portanto:
25 = 753

Resposta

A velocidade do objeto após 5 segundos é aproximadamente $ 108,33 , m/s $.

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