A posição de um objeto em função do tempo é dada por x(t)=A t^3+B t^2+C t+D. Onde A=2,1 m / s^3, B=1,0 m / s^2, C=-4,1 m / s e D=3 m. Qual é a aceleração do objeto em t=0,5 s ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a posição de um objeto em função do tempo, dada por uma equação polinomial. O objetivo aqui é encontrar a aceleração do objeto em um instante específico, que é quando $ t = 0,5 $ segundos. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas, que são usadas para achar a velocidade e a aceleração a partir da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que cada termo da equação representa. A posição $ x(t) $ está dada por:
x(t)
Onde:
  • $ A = 2,1 , m/s^{3} $
  • $ B = 1,0 , m/s^{2} $
  • $ C = -4,1 , m/s $
  • $ D = 3 , m $
Nosso objetivo é achar a aceleração $ a(t) $ no tempo $ t = 0,5 $ s.

Passo 3

Para encontrar a aceleração, precisamos primeiro descobrir a velocidade do objeto. A velocidade $ v(t) $ é a primeira derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar $ x(t) $:
v(t)

Passo 4

Agora, para encontrar a aceleração $ a(t) $, que é a taxa de variação da velocidade, vamos derivar a velocidade em relação ao tempo:
a(t)

Passo 5

Vamos substituir os valores de $ A $ e $ B $ na equação da aceleração:
A
Simplificando:
B

Passo 6

Agora, vamos calcular a aceleração no tempo $ t = 0,5 $ s:
t = 0,5

Resposta

A aceleração do objeto em $ t = 0,5 $ segundos é de 8,3 m/s².

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