Suponha que o potencial eletrostático de uma carga pontual seja V(r)=(1 / 4 pi epsilon0) r^-(1+epsilon), ao invés da formula habitual.
Encontre o potencial V(r) de um ponto a uma distância r do centro de uma casca esférica de raio R>r com densidade de carga superfícial uniforme sigma. Verifique o limite de Coulomb epsilon=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre encontrar o potencial eletrostático $ V® $ em um ponto a uma distância $ r $ do centro de uma casca esférica de raio $ R $ (com $ R > r $) e densidade de carga superfícial uniforme $ \sigma $. A diferença aqui é que, ao invés da fórmula habitual do potencial de Coulomb, temos uma versão modificada: $ V® = \left(\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\right) r^{-(1+\epsilon)} $. Vamos usar conceitos de eletrostática e integração para resolver isso, lembrando sempre da física por trás das fórmulas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a carga total $ Q $ na nossa casca esférica. Como a casca tem densidade de carga superficial $ \sigma $ e área $ 4\pi R^2 $, a carga total é:
Q
Isso nos dá a quantidade total de carga distribuída uniformemente na superfície da casca.

Passo 3

Agora, queremos encontrar o potencial $ V® $ devido a essa casca em um ponto a distância $ r $ do centro. Sabemos que, para cargas esféricas simétricas, o potencial exterior pode ser tratado como se toda a carga estivesse concentrada no centro. Porém, como temos uma modificação na lei do potencial, vamos adaptar nossa abordagem.

Passo 4

Considerando a expressão modificada do potencial, para cada elemento de carga na casca, o potencial no ponto a distância $ r $ é:
r
Como a casca é esférica e a densidade é uniforme, podemos simplificar a distância $ |R - r| $ para $ R $ (pois $ R > r $), então:
dV(r) = (14piepsilon0) dq|R - r|^1+epsilon

Passo 5

Integrando sobre toda a casca, temos:
V(r) = (14piepsilon0) 1R^1+epsilon integral dq
Substituindo $ Q = \sigma \times 4\pi R^2 $:
Q = sigma times 4pi R^2
Simplificando:
V(r) = (14piepsilon0) QR^1+epsilon
Cancelando $ 4\pi $:
V(r) = (14piepsilon0) sigma times 4pi R^2R^1+epsilon = (14piepsilon0) 4pi sigma R^2R^1+epsilon = (14piepsilon0) 4pi sigma R^1-epsilon

Passo 6

Agora, vamos verificar o limite de Coulomb, ou seja, quando $ \epsilon = 0 $:
epsilon = 0
Aqui, percebemos que $ \epsilon $ está no denominador, o que pode parecer um problema. Entretanto, reavaliando a expressão original do potencial para $ \epsilon = 0 $:
V(r) = (sigma R^1-00 cdot epsilon0)
Isso confirma que, no limite $ \epsilon = 0 $, recuperamos a fórmula clássica do potencial eletrostático de Coulomb.

Resposta

O potencial $ V® $ a uma distância $ r $ do centro da casca esférica é dado por:
V(r)
E no limite de Coulomb ($ \epsilon = 0 $), a expressão reduz-se à fórmula clássica do potencial eletrostático:
r

Exercícios relacionados