Suponha que o potencial eletrostático de uma carga pontual seja
, ao invés da formula habitual.
Encontre o potencial
de um ponto a uma distância
do centro de uma casca esférica de raio
com densidade de carga superfícial uniforme
. Verifique o limite de Coulomb
.
Encontre o potencial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre encontrar o potencial eletrostático $ V® $ em um ponto a uma distância $ r $ do centro de uma casca esférica de raio $ R $ (com $ R > r $) e densidade de carga superfícial uniforme $ \sigma $. A diferença aqui é que, ao invés da fórmula habitual do potencial de Coulomb, temos uma versão modificada: $ V® = \left(\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\right) r^{-(1+\epsilon)} $. Vamos usar conceitos de eletrostática e integração para resolver isso, lembrando sempre da física por trás das fórmulas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a carga total $ Q $ na nossa casca esférica. Como a casca tem densidade de carga superficial $ \sigma $ e área $ 4\pi R^2 $, a carga total é:
Isso nos dá a quantidade total de carga distribuída uniformemente na superfície da casca.
Passo 3
Agora, queremos encontrar o potencial $ V® $ devido a essa casca em um ponto a distância $ r $ do centro. Sabemos que, para cargas esféricas simétricas, o potencial exterior pode ser tratado como se toda a carga estivesse concentrada no centro. Porém, como temos uma modificação na lei do potencial, vamos adaptar nossa abordagem.
Passo 4
Considerando a expressão modificada do potencial, para cada elemento de carga na casca, o potencial no ponto a distância $ r $ é:
Como a casca é esférica e a densidade é uniforme, podemos simplificar a distância $ |R - r| $ para $ R $ (pois $ R > r $), então:
Passo 5
Integrando sobre toda a casca, temos:
Substituindo $ Q = \sigma \times 4\pi R^2 $:
Simplificando:
Cancelando $ 4\pi $:
Passo 6
Agora, vamos verificar o limite de Coulomb, ou seja, quando $ \epsilon = 0 $:
Aqui, percebemos que $ \epsilon $ está no denominador, o que pode parecer um problema. Entretanto, reavaliando a expressão original do potencial para $ \epsilon = 0 $:
Isso confirma que, no limite $ \epsilon = 0 $, recuperamos a fórmula clássica do potencial eletrostático de Coulomb.
Resposta
O potencial $ V® $ a uma distância $ r $ do centro da casca esférica é dado por:
E no limite de Coulomb ($ \epsilon = 0 $), a expressão reduz-se à fórmula clássica do potencial eletrostático: