A velocidade como função do tempo para um carro é dada por v(t)=A t^2+b t, onde A=2,0 m / s^3 e B=1,0 m / s^2. Se o carro parte da origem do sistema de coordenadas, qual é a sua posição em t=3 s ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um carro cuja velocidade depende do tempo, dada pela função $ v(t) = A t^{2} + B t $, onde $ A = 2,0 , m/s^3 $ e $ B = 1,0 , m/s^2 $. O carro começa na origem do sistema de coordenadas, ou seja, na posição zero. A pergunta é: qual é a posição do carro após 3 segundos? Para resolver isso, vamos precisar entender como a velocidade e a posição estão relacionadas através do cálculo de integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a posição de um objeto é a integral da sua velocidade em relação ao tempo. Isso significa que, para encontrar a posição $ s(t) $, vamos integrar a função da velocidade $ v(t) $ em relação ao tempo $ t $.
A função da velocidade é:
s(t)
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 3

Integrando o primeiro termo $ 2,0 , t^{2} $:
2,0 , t^2
Integrando o segundo termo $ 1,0 , t $:
integral 2,0 , t^2 , dt = 2,0 times t^33 = 23 t^3
Então, a função da posição fica:
1,0 , t
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 4

Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante $ C $. Sabemos que o carro parte da origem, ou seja, quando $ t = 0 $, a posição $ s(0) = 0 $.
Substituindo na equação:
C
t = 0
s(0) = 0
Portanto, a função da posição simplificada é:
0 = 23 (0)^3 + 12 (0)^2 + C

Passo 5

Agora, vamos calcular a posição do carro em $ t = 3 , s $.
Substituindo $ t = 3 $ na função:
t = 3 , s
t = 3
s(3) = 23 (3)^3 + 12 (3)^2
s(3) = 23 times 27 + 12 times 9

Resposta

A posição do carro após 3 segundos é 22,5 metros.

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