A velocidade como função do tempo para um carro é dada por
, onde
. Se o carro parte da origem do sistema de coordenadas, qual é a sua posição em
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um carro cuja velocidade depende do tempo, dada pela função $ v(t) = A t^{2} + B t $, onde $ A = 2,0 , m/s^3 $ e $ B = 1,0 , m/s^2 $. O carro começa na origem do sistema de coordenadas, ou seja, na posição zero. A pergunta é: qual é a posição do carro após 3 segundos? Para resolver isso, vamos precisar entender como a velocidade e a posição estão relacionadas através do cálculo de integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a posição de um objeto é a integral da sua velocidade em relação ao tempo. Isso significa que, para encontrar a posição $ s(t) $, vamos integrar a função da velocidade $ v(t) $ em relação ao tempo $ t $.
A função da velocidade é:
Vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 3
Integrando o primeiro termo $ 2,0 , t^{2} $:
Integrando o segundo termo $ 1,0 , t $:
Então, a função da posição fica:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 4
Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante $ C $. Sabemos que o carro parte da origem, ou seja, quando $ t = 0 $, a posição $ s(0) = 0 $.
Substituindo na equação:
Portanto, a função da posição simplificada é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a posição do carro em $ t = 3 , s $.
Substituindo $ t = 3 $ na função:
Resposta
A posição do carro após 3 segundos é 22,5 metros.